Die Monotonitat.

1.3.1. Die Monotonität.

SATZ 1.3.1. Es gelte $0 \leq a_{k} \leq b_{k}$ , $k \in ℕ$ . Divergiert die Reihe $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}$ , so divergiert auch die Reihe $\sum_{k = 1}^{\infty} b_{k}$ . Konvergiert andererseits die Reihe $\sum_{k = 1}^{\infty} b_{k}$ , so konvergiert auch die Reihe $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}$ und

0 \leq \sum_{k = 1}^{\infty} a_{k} \leq \sum_{k = 1}^{\infty} b_{k} .

(1.3.1.1)

$▸$ Es sei $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k}$ und $S_{n}^{^{'}} = \sum_{k = 1}^{n} b_{k}$ und damit nach Voraussetzung

S_{n} \leq S_{n}^{^{'}} für  alle n \in ℕ .

(1.3.1.2)

Divergiert $S_{n}$ gegen $+ \infty$ , so divergiert damit auch $S_{n}^{^{'}}$ gegen $+ \infty$ . Konvergiert andererseits $S_{n}^{^{'}}$ gegen eine (endliche) reelle Zahl, so ist ${S_{n}^{^{'}}}$ und damit auch ${S_{n}}$ beschränkt. Aufgrund der Monotonität besitzt ${S_{n}}$ einen Grenzwert. Geht man jetzt in der Ungleichung (1.3.1.2) zum Grenzwert über, so erhält man (1.3.1.1). $◂$

AUFGABE 1.3.2. Formulieren und beweisen Sie die analoge Aussage für uneigentliche Integrale mit nichtnegativen Integranden.

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