Der Umordnungssatz.

1.3.2. Der Umordnungssatz.

Der folgende Satz sagt aus, daß Konvergenz und Wert einer Reihe aus nichtnegativen Gliedern nicht von der Anordnung der Summanden abhängt.

SATZ 1.3.3. Es sei $φ : ℕ \to ℕ$ eine bijektive Abbildung, $a_{k} \geq 0$ sowie $b_{k} = a_{φ (k)}$ , $k \in ℕ$ . Dann konvergiert die Reihe $\sum_{k = 1}^{\infty} b_{k}$ dann und nur dann, wenn die Reihe $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}$ konvergiert. Dabei gilt

\sum_{k = 1}^{\infty} b_{k} = \sum_{k = 1}^{\infty} a_{k} .

(1.3.2.1)

$▸$ Fall 1: Angenommen, die Reihe $S = \sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}$ konvergiert. Es sei $S_{n} : = \sum_{k = 1}^{n} a_{k}$ , $T_{k} = \sum_{k = 1}^{n} b_{k}$ und $m = max {φ (1), \dots, φ (n)}$ . Dann gilt

T_{n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{φ (k)} \leq \sum_{k = 1}^{m} a_{k} = S_{m} \leq S .

Damit ist die Folge ${T_{n}}$ beschränkt. Aufgrund der Monotonität besitzt diese Folge einen Grenzwert $T = lim_{n \to \infty} T_{n} \leq S$ , d.h.

\sum_{k = 1}^{\infty} b_{k} = T \leq S = \sum_{k = 1}^{\infty} a_{k} .

Umgekehrt betrachten wir $a_{k} = b_{φ^{- 1} (k)}$ und erhalten auf gleichem Wege $S \leq T$ . Daraus folgt (1.3.2.1).

Fall 2 :Angenommen, die Reihe $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}$ divergiert, d.h. $S_{n} \to + \infty$ . Damit existiert für jedes gegebene $C > 0$ ein $N \in ℕ$ mit

S_{N} = \sum_{k = 1}^{N} a_{k} \geq C .

Es sei $m = max {φ^{- 1} (1), \dots, φ^{- 1} (N)}$ . Dann gilt

C \leq S_{N} = \sum_{k = 1}^{N} a_{k} = \sum_{k = 1}^{N} b_{φ^{- 1} (k)} \leq \sum_{l = 1}^{m} b_{l} = T_{m} .

Also divergiert auch die Folge ${T_{m}}$ und damit die Reihe $\sum_{k = 1}^{\infty} b_{k}$ . $◂$

[next] [prev] [prev-tail] [front] [up]