Der Riemannsche Umordnungssatz.

1.3.3. Der Riemannsche Umordnungssatz.

Die Bedeutung des oben formulierten Umordnungssatzes unterstreicht man am besten mit einem konträren Beispiel. Dazu betrachten wir eine Folge reeller (positiver und negativer) Zahlen ${a_{k}}_{k \in ℕ}$ und setzen $a_{k}^{+} = max {a_{k}, 0}$ sowie $a_{k}^{-} = - min {a_{k}, 0}$ . Dann gilt folgender Riemannscher Umordnungssatz für Reihen mit indefiniten Summanden, nach dem man durch geeignete Umordnung der Summanden der Reihe $\sum_{j = 1}^{\infty} a_{φ (j)}$ jeden beliebigen vorgegebenen Wert geben kann:

SATZ 1.3.4. Es gelte $lim_{n \to \infty} a_{k} = 0_{j}$ und die beiden Reihen $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}^{+}$ sowie $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}^{-}$ seien divergent. Dann gibt es für jedes Element $r \in ℝ \cup {+ \infty} \cup {- \infty}$ eine Umordnung von $ℕ$ , d.h. eine bijektive Abbildung $φ : ℕ \to ℕ,$ so daß die Reihe $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{φ (k)}$ gegen $r \in ℝ$ konvergiert bzw. gegen $r \in {+ \infty} \cup {- \infty}$ bestimmt divergiert.

$▸$ Wir skizzieren den Beweis. Es seien $k_{l}^{+}$ und $k_{l}^{-}$ die streng monoton wachsenden Folgen aller solcher Indizes, für welche $a_{k_{l}^{+}} \geq 0$ bzw. $a_{k_{l}^{-}} < 0$ gilt. Es sei o.B.d.A. $r > 0$ . Wir konstruieren nun die gesuchte Umordnung $φ : ℕ \to ℕ$ . Zunächst wählen wir

φ (1) = k_{1}^{+}, \dots, φ (l_{1}^{+}) = k_{l_{1}^{+}}^{+},

so daß

\sum_{j = 1}^{l_{1}^{+} - 1} a_{φ (j)} < r und \sum_{j = 1}^{l_{1}^{+}} a_{φ (j)} \geq r .

Dies ist immer möglich, da die Reihe $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}^{+} = \sum_{j = 1}^{\infty} a_{k_{j}^{+}}$ bestimmt gegen $+ \infty$ divergiert. Danach wählen wir

φ (l_{1}^{+} + 1) = k_{1}^{-}, \dots, φ (l_{1}^{+} + l_{1}^{-}) = k_{l_{1}^{-}}^{-},

so daß

\sum_{j = 1}^{l_{1}^{+} + l_{1}^{-} - 1} a_{φ (j)} \geq r und \sum_{j = 1}^{l_{1}^{+} + l_{1}^{-}} a_{φ (j)} < r .

Dies ist wiederum möglich, da die Reihen $\sum_{k = 1}^{\infty} (- a_{k}^{+}) = \sum_{j = 1}^{\infty} a_{k_{j}^{-}}$ bestimmt gegen $- \infty$ divergiert. Diese Prozedur wird dann iterativ mit abwechselnd positiven Summanden für

φ (j) = k_{l_{1}^{+} + \dots + l_{n}^{+} + m}^{+}, j = l_{1}^{+} + l_{1}^{-} + \dots + l_{n}^{+} + l_{n}^{-} + m, 1 \leq m \leq l_{n + 1}^{+},

und negativen Summanden für

φ (j) = k_{l_{1}^{-} + \dots + l_{n - 1}^{-} + m}^{-}, j = l_{1}^{+} + l_{1}^{-} + \dots + l_{n}^{+} + m, 1 \leq m \leq l_{n}^{-},

mit den Bedingungen

\begin{array}{rcl} \sum_{j = 1}^{m_{n + 1}^{+} - 1} a_{φ (j)} < r, & \sum_{j = 1}^{m_{n + 1}^{+}} a_{φ (j)} \geq r, \\ m_{n + 1}^{+} = l_{1}^{+} + l_{1}^{-} + \dots + l_{n}^{+} + l_{n}^{-} + l_{n + 1}^{+}, \\ \sum_{j = 1}^{m_{n}^{-} - 1} a_{φ (j)} \geq r, & \sum_{j = 1}^{m_{n}^{-}} a_{φ (j)} < r, \\ m_{n}^{-} = l_{1}^{+} + l_{1}^{-} + \dots + l_{n}^{+} + l_{n}^{-} . \end{array}

wiederholt. Damit gilt

\begin{array}{rcl} r - |a_{φ (m_{n}^{-})}| < \sum_{j = 1}^{m_{n}^{-}} a_{φ (j)} \leq & \sum_{j = 1}^{p} a_{φ (j)} \leq & \sum_{j = 1}^{m_{n + 1}^{+}} a_{φ (j)} \leq r + a_{φ (m_{n + 1}^{+})}, \\ r - |a_{φ (m_{n + 1}^{-})}| < \sum_{j = 1}^{m_{n + 1}^{-}} a_{φ (j)} \leq & \sum_{j = 1}^{p} a_{φ (j)} \leq & \sum_{j = 1}^{m_{n + 1}^{+}} a_{φ (j)} \leq r + a_{φ (m_{n + 1}^{+})}, \end{array}

für $m_{n}^{-} \leq p \leq m_{n + 1}^{+}$ bzw. $m_{n + 1}^{+} \leq p \leq m_{n + 1}^{-}$ . Da nach Konstruktion $φ (j) \to \infty$ für $j \to \infty$ sowie $m_{n}^{\pm} \to \infty$ für $n \to \infty$ , so folgt aus der Voraussetzung $a_{k} \to 0$ für $k \to \infty$ damit auch

\sum_{j = 1}^{p} a_{φ (j)} \to r für p \to \infty .

$◂$

AUFGABE 1.3.5. Vervollständigen Sie den Beweis für die Fälle $r < 0$ , $r = + \infty$ , $r = - \infty$ .

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