Allgemeine Reihen mit nichtnegativen Gliedern

1.3.4. Allgemeine Reihen mit nichtnegativen Gliedern

Wir wenden uns jetzt wieder den Eigenschaften von Reihen mit nichtnegativen Gliedern und insbesondere den Anwendungen von Satz 1.3.3 zu.

Es sei $A$ eine abzählbare Menge ( $card (A) = ℵ_{0}$ ) und $a$ eine Abbildung $a : A \to [0, + \infty [$ . Wir schreiben $a_{α} = a (α)$ für $α \in A$ .

DEfiNITION 1.3.6. Es sei $φ : A \to ℕ$ eine Bijektion zwischen $A$ und $ℕ$ . Wir sagen, die Reihe $\sum_{α \in A} a_{α}$ konvergiert genau dann, wenn die Reihe $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{φ^{- 1} (k)}$ konvergiert und setzen

\sum_{α \in A} a_{α} : = \sum_{k = 1}^{\infty} a_{φ^{- 1} (k)} .

Diese Definition ist nach dem Umordnungssatz unabhängig von der Wahl der konkreten Bijektion $φ : A \to ℕ$ . Tatsächlich, es sei $ψ : A \to ℕ$ eine weitere Bijektion. Dann ist auch $γ = φ^{- 1} \circ ψ : ℕ \to ℕ$ eine bijektive Abbildung auf $ℕ$ und nach Satz 1.3.3 gilt

\sum_{k = 1}^{\infty} a_{ψ^{- 1} (k)} = \sum_{k = 1}^{\infty} b_{k} = \sum_{k = 1}^{\infty} b_{γ (k)} = \sum_{k = 1}^{\infty} a_{φ^{- 1} (k)}, b_{k} = a_{ψ^{- 1} (k)}, k \in ℕ .

Auf einem analogen Argument basiert der verallgemeinerte Umordnungssatz:

SATZ 1.3.7. Es seien $A$ , $B$ zwei abzählbare Mengen und $γ : A \to B$ eine Bijektion. Für $a : A \to ℝ$ mit $a_{α} = a (α) \geq 0$ , $α \in A$ , konvergiert die Reihe $\sum_{α \in A} a_{α}$ genau dann, wenn die Reihe $\sum_{β \in B} a_{γ^{- 1} (β)}$ konvergiert. Dabei gilt

\sum_{a \in A} a_{α} = \sum_{β \in B} a_{γ^{- 1} (β)} .

$▸$ Wir setzen $b_{k} = a_{φ^{- 1} (k)}$ , $k \in ℕ$ und $c_{β} = a_{γ^{- 1} (β)}$ für $β \in B$ . Es seien $φ : A \to ℕ$ und $ψ : B \to ℕ$ bijektive Abbildungen. Dann ist $η = ϕ \circ γ^{- 1} \circ ψ^{- 1} : ℕ \to ℕ$ eine Bijektion und nach Satz 1.3.3 gilt

\begin{array}{rcl} \sum_{α \in A} a_{α} & = & \sum_{k = 1}^{\infty} a_{φ^{- 1} (k)} = \sum_{k = 1}^{\infty} b_{k} = \sum_{k = 1}^{\infty} b_{η (k)} = \sum_{k = 1}^{\infty} a_{φ^{- 1} (η (k))} \\ = & \sum_{k = 1}^{\infty} a_{γ^{- 1} (ψ^{- 1} (k))} = \sum_{k = 1}^{\infty} c_{ψ^{- 1} (k)} = \sum_{β \in B} c_{β} = \sum_{β \in B} a_{γ^{- 1} (β)} . \end{array}

$◂$

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