Wichtige Eigenschaften von verallgemeinerten Reihen mit nichtnegativen Gliedern.

1.3.5. Wichtige Eigenschaften von verallgemeinerten Reihen mit nichtnegativen Gliedern.

Folgende Aussage ist eine direkte Verallgemeinerung von Satz 1.2.7 (Additivität) und Satz 1.3.1 (Monotonität).

SATZ 1.3.8. Es sei $A$ eine abzählbare Menge, $a, b : A \to ℕ$ sowie $a_{α} = a (α) \geq 0$ , $b_{α} = b (α) \geq 0$ .

Aus $0 \leq a_{α} \leq b_{α}$ für alle $α \in A$ folgt

\sum_{α \in A} a_{α} \leq \sum_{α \in A} b_{α} .

Aus der Konvergenz von $\sum_{α \in A} b_{α}$ folgt die Konvergenz von $\sum_{α \in A} a_{α}$ ; aus der Divergenz von $\sum_{α \in A} a_{α}$ folgt die Divergenz von $\sum_{α \in A} b_{α}$ .

Konvergieren beide Reihen $\sum_{α \in A} a_{α}$ und $\sum_{α \in A} b_{α}$ , so konvergiert auch die Reihe $\sum_{α \in A} (a_{α} + b_{α})$ und

\sum_{α \in A} (a_{α} + b_{α}) = \sum_{α \in A} a_{α} + \sum_{α \in A} b_{α} .

Für verallgemeinerte Reihen mit nichtnegativen Summanden gilt zudem eine Monotonitätseigenschaft bezüglich des Summationsbereiches:

SATZ 1.3.9. Es sei $A$ eine abzählbare Menge, $A^{'} \subset A$ und $a_{α} \geq 0$ für $α \in A$ . Dann folgt

\sum_{α \in A^{'}} a_{α} \leq \sum_{a \in A} a_{α}

$▸$ Es sei

a_{α}^{'} : = \{\begin{matrix} a_{α} & für & α \in A^{'} \\ 0 & für & α \in A \ A^{'} \end{matrix},

und damit $a_{α}^{'} \leq a_{α}$ für alle $α \in A$ . Dann folgt nach der oben bewiesenen Monotonität

\sum_{α \in A^{'}} a_{α} = \sum_{α \in A^{'}} a_{α}^{'} = \sum_{α \in A} a_{α}^{'} \leq \sum_{α \in A} a_{α} .

$◂$

AUFGABE 1.3.10. Analysieren Sie im obigen Beweis den anschaulich offensichtlichen Schritt $\sum_{α \in A^{'}} a_{α}^{'} = \sum_{α \in A} a_{α}^{'}$ im Detail und führen Sie einen formalen Nachweis!

Derselbe Schritt liegt auch dem Beweis der Additivität bezüglich des Summationsbereiches zugrunde.

SATZ. Es sei $A$ eine abzählbare Menge, $A = A_{1} \cup A_{2}$ sowie $A_{1} \cap A_{2} = \emptyset$ . Gilt $a_{α} \geq 0$ für $α \in A$ und konvergieren beide Reihen $\sum_{α \in A_{1}} a_{α}$ sowie $\sum_{α \in A_{2}} a_{α}$ , so konvergiert auch $\sum_{α \in A} a_{α}$ und

\sum_{α \in A} a_{α} = \sum_{α \in A_{1}} a_{α} + \sum_{α \in A_{2}} a_{α} .

$▸$ Wir setzen

b_{α} = \{\begin{matrix} a_{α} & für & α \in A_{1} \\ 0 & für & α \in A_{2} \end{matrix} und c_{α} = \{\begin{matrix} a_{α} & für & α \in A_{2} \\ 0 & für & α \in A_{1} \end{matrix} .

Dann gilt

\sum_{α \in A} b_{α} = \sum_{α \in A_{1}} a_{α} und \sum_{α \in A} c_{α} = \sum_{α \in A_{2}} a_{α}

und aufgrund der Identität $a_{α} = b_{α} + c_{α}$ , $α \in A$ sowie der Additivität von Reihen

\sum_{α \in A} a_{α} = \sum_{α \in A} b_{α} + \sum_{α \in A} c_{α} = \sum_{α \in A_{1}} a_{α} + \sum_{α \in A_{2}} a_{α} .

$◂$

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