Doppelreihen.

1.3.6. Doppelreihen.

Eine wichtige Anwendung von verallgemeinerten Reihen sind die sogennanten Doppelreihen. Sind $A$ und $B$ abzählbare Mengen, so ist auch das kartesische Produkt $A \times B$ abzählbar. Damit ist für $a : A \times B \to ℝ$ und $a_{α, β} = a (α, β) \geq 0$ , $α \in A$ , $β \in B$ , die Reihe

\sum_{(α, β) \in A \times B} a_{α, β}

wohldefiniert. Insbesondere kann man mit $A = ℤ^{p - 1}$ und $B = ℤ$ iterativ Reihen über das Gitter $ℤ^{p}$ definieren.

Eine Modifikation dieser Idee führt zu einer wichtigen Verallgemeinerung von Satz 1.3.5. Dazu betrachten wir eine abzählbare Familie abzählbarer Mengen

{A_{β}}_{β \in B}, card (A_{β}) = ℵ_{0}, card (B) = ℵ_{0},

welche paarweise disjunkt sind

A_{β_{1}} \cap A_{β_{2}} = \emptyset, β_{1} \neq β_{2}, β_{1}, β_{2} \in B .

Wir setzen $C = ⋃_{β \in B} A_{β}$ . 1Es sei $a : C \to ℝ$ mit $a_{γ} = a (γ) \geq 0$ für $γ \in C$ . Dann gilt:

SATZ 1.3.11. Die Reihe $\sum_{γ \in C} a_{γ}$ konvergiert genau dann, wenn die Reihe $\sum_{β \in B} b_{β}$ mit $b_{β} = \sum_{α \in A_{β}} a_{α}$ konvergiert. Dabei gilt

\sum_{γ \in C} a_{γ} = \sum_{β \in B} (\sum_{α \in A_{β}} a_{α}) .

Führen Sie mit Hilfe bijektiver Abbildungen $φ_{β} : A_{β} \to ℕ \times {β}$ sowie $ψ : B \to ℕ$ den Beweis von Satz 1.3.11 auf folgende Aussage zurück:

SATZ 1.3.12. Es sei $a_{k, m} \geq 0$ für $k, m \in ℕ$ . Dann konvergieren die Reihen in der folgenden Identität gleichzeitig und es gilt

\sum_{(k, m) \in ℕ \times ℕ} a_{k, m} = \sum_{k \in ℕ} (\sum_{m \in ℕ} a_{k, m}) = \sum_{m \in ℕ} (\sum_{k \in ℕ} a_{k, m}) .

(1.3.6.1)

$▸$ Wit nehmen zunächst an, daß die Reihe $\sum_{(k, m) \in ℕ \times ℕ} a_{k, m}$ konvergiert. Wegen $ℕ \times {m} \subset ℕ \times ℕ$ konvergiert nach Satz 1.3.9 jede der Reihen $\sum_{k \in ℕ} a_{k, m}$ . Da außerdem

ℕ \times {1, \dots, n} = ⋃_{m = 1}^{n} ℕ \times {m} \subset ℕ \times ℕ,

so folgt mit Hilfe der vollständigen Induktion aus Satz 1.3.5

\sum_{m = 1}^{n} (\sum_{k \in ℕ} a_{k, m}) = \sum_{(k, m) \in ℕ \times {1, \dots, n}} a_{k, m},

sowie nach Satz 1.3.9 desweiteren

\sum_{m = 1}^{n} (\sum_{k \in ℕ} a_{k, m}) \leq \sum_{(k, m) \in ℕ \times ℕ} a_{k, m}, n \in ℕ .

Folglich konvergiert die Reihe auf der linken Seite und es gilt

\sum_{m \in ℕ} (\sum_{k \in ℕ} a_{k, m}) \leq \sum_{(k, m) \in ℕ \times ℕ} a_{k, m} .

(1.3.6.2)

Nach der Definition der Konvergenz verallgemeinerter Reihen gilt

S : = \sum_{(k, m) \in ℕ \times ℕ} a_{k, m} = \sum_{j = 1}^{\infty} a_{η^{- 1} (j)}

für eine Bijektion $η : ℕ \times ℕ \to ℕ$ . Für jedes $ε > 0$ existiert damit ein $N_{ε} < \infty$ , so daß

\sum_{j = 1}^{N_{ε}} a_{η^{- 1} (j)} = \sum_{(k, m) \in Θ_{ε} \subset ℕ \times ℕ} a_{k, m} > S - ε .

Hier ist $Θ_{ε} : = η^{- 1} ({1, \dots, N_{ε}})$ eine endliche Menge. Es sei weiterhin

\begin{array}{rcl} M_{ε} & = & {m \in ℕ | \exists_{k \in ℕ} (k, m) \in Θ_{ε}} \subset ℕ, \\ K_{ε} & = & {k \in ℕ | \exists_{m \in ℕ} (k, m) \in Θ_{ε}} \subset ℕ . \end{array}

Wegen $Θ_{ε} \subset K_{ε} \times M_{ε}$ gilt für die (endlichen) Summen

\begin{array}{rcl} S - ε < \sum_{(k, m) \in Θ_{ε}} a_{k, m} & \leq & \sum_{(k, m) \in M_{ε}} a_{k, m} = \sum_{k \in K_{ε}} (\sum_{m \in M_{ε}} a_{k, m}) \\ \leq & \sum_{k \in K_{ε}} (\sum_{m \in ℕ} a_{k, m}) \leq \sum_{k \in ℕ} (\sum_{m \in ℕ} a_{k, m}) . & (1.3.6.3) \end{array}

Im Grenzwert $ε \to 0 + 0$ folgt

\sum_{m \in ℕ} (\sum_{k \in ℕ} a_{k, m}) \geq \sum_{(k, m) \in ℕ \times ℕ} a_{k, m} .

(1.3.6.4)

Aus (1.3.6.2) und (1.3.6.4) folgt die erste (und auf gleichem Wege auch die zweite) Identität in (1.3.6.1).

Zum Abschluß bleibt zu zeigen, daß aus der Konvergenz der Reihe $\sum_{k \in ℕ} (\sum_{m \in ℕ} a_{k, m})$ auch die Konvergenz von $\sum_{(k, m) \in ℕ \times ℕ} a_{k, m}$ folgt. Angenommen, die Reihe $\sum_{(k, m) \in ℕ \times ℕ} a_{k, m}$ ist nicht konvergent. Dann divergiert diese bestimmt gegen $+ \infty$ und für jedes $ε > 0$ existiert ein $N_{ε}$ mit

\sum_{j = 1}^{N_{ε}} a_{η^{- 1} (j)} = \sum_{(k, m) \in Θ_{ε} \subset ℕ \times ℕ} a_{k, m} > ε .

Ebenso wie in (1.3.6.3) sieht man, daß

ε < \sum_{k \in ℕ} (\sum_{m \in ℕ} a_{k, m})

und im Grenzwert $ε \to + \infty$ folgt die Divergenz von $\sum_{k \in ℕ} (\sum_{m \in ℕ} a_{k, m})$ . $◂$

1Das kartesische Produkt $A \times B$ läßt sich in dieser Notation als $C = A \times B = ⋃_{β \in B} A_{β}$ mit $A_{β} = A \times {β} ∋ (α, β)$ realisieren.

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