Multiplikation von Reihen mit nichtnegativen Gliedern.

SATZ 1.3.13. Es sei $a_{k} \geq 0$ , $b_{k} \geq 0$ für $k \in ℕ$ und die Reihen $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}$ und $\sum_{k = 1}^{\infty} b_{k}$ konvergieren. Dann gilt

(\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}) (\sum_{m = 1}^{\infty} b_{m}) = \sum_{(k, m) \in ℕ \times ℕ} a_{k} b_{m} .

(1.3.7.1)

Konvergiert die Reihe auf der rechten Seite von (1.3.7.1) und ist mindestens je einer der Summanden $a_{k}$ sowie $b_{m}$ verschieden von Null, so konvergieren beide Reihen $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}$ und $\sum_{k = 1}^{\infty} b_{k}$ .

▸

Es sei

S_{b} = \sum_{k = 1}^{\infty} b_{k}

. Dann gilt nach Satz 1.3.7.1

1.3.7. Multiplikation von Reihen mit nichtnegativen Gliedern.