Der obere und der untere Grenzwert.

Wir betrachten eine Folge reeller Zahlen

{x_{k}}_{k \in ℕ}

. Ist diese Folge nach oben beschränkt, so setzen wir

y_{n} : = sup_{k \geq n} x_{k}

. Die Folge

{y_{n}}_{n \in ℕ}

ist monoton fallend. Wir definieren den oberen Grenzwert der Folge

{x_{k}}_{k \in ℕ}

als

welches entweder eine reelle Zahl oder

- \infty

als Wert annimmt. Ist

{x_{k}}_{k \in ℕ}

nach oben unbeschränkt, so setzen wir

{limsup}_{k \to \infty} x_{k} = {lim^{¯}}_{k \to \infty} x_{k} : = + \infty

Ist die Folge

{x_{k}}_{k \in ℕ}

nach unten beschränkt, so setzen wir

z_{n} : = inf_{k \geq n} x_{k}

. Die Folge

{z_{n}}_{n \in ℕ}

ist monoton wachsend. Wir definieren den unteren Grenzwert der Folge

{x_{k}}_{k \in ℕ}

als

welches entweder eine reelle Zahl oder

+ \infty

als Wert annimmt. Ist

{x_{k}}_{k \in ℕ}

nach unten unbeschränkt, so setzen wir

{liminf}_{k \to \infty} x_{k} = {lim_{}}_{k \to \infty} x_{k} : = - \infty

Der obere und untere Grenzwert ist damit für jede Folge reeller Zahlen bestimmt.

SATZ 1.5.1. Für jede Folge reeller Zahlen ${x_{k}}_{k \in ℕ}$ gilt

\underset{k \to \infty}{liminf} x_{k} \leq \underset{k \to \infty}{limsup} x_{k} .

(1.5.1.1)

Weiterhin konvergiert die Folge ${x_{k}}_{k \in ℕ}$ gegen $r \in ℝ$ bzw. divergiert bestimmt gegen $r = - \infty$ oder $r = + \infty$ genau dann, wenn

\underset{k \to \infty}{liminf} x_{k} = \underset{k \to \infty}{limsup} x_{k} = r .

(1.5.1.2)

▸

Wir beweisen zunächst (1.5.1.1). Ist die Folge

{x_{k}}_{k \in ℕ}

halbbeschränkt, dann ist die Ungleichung offensichtlich. Für eine beschränkte Folge gilt mit der oben eingeführten Notation

woraus (1.5.1.1) im Grenzwert

n \to \infty

folgt.2Wir betrachten den Fall

r \in ℝ

. Konvergiert

{x_{k}}_{k \in ℕ}

gegen

r

, so gilt für beliebiges

ε > 0

die Inklusion

x_{k} \in] r - ε, r + ε [

für

k \geq n_{ε}

und damit auch

[y_{n}, z_{n}] \subset [r - ε, r + ε]

für

n \geq n_{ε}

. Im Grenzwert

n \to \infty

folgt daraus

und damit (1.5.1.2). Umgekehrt folgt aus (1.5.1.2) die Inklusion

[y_{n}, z_{n}] \subset [r - ε, r + ε]

für

n \geq n_{ε}

und wegen

y_{n} \leq x_{n} \leq z_{n}

auch

x_{n} \in [r - ε, r + ε]

, d.h.

x_{n} \to r

für

n \to \infty

◂

AUFGABE 1.5.2. Vervollständigen Sie den Beweis für den Fall bestimmter Divergenz!

AUFGABE 1.5.3. Es sei ${x_{k}}_{k \in ℕ}$ eine Folge reeller Zahlen.

Gilt $s = {limsup}_{k \to \infty} x_{k} < 1$ , dann existiert für jedes $r \in] s, 1 [$ ein $N_{r, s} \in ℕ$ , so daß $x_{k} < r$ für alle $k \geq N_{r, s}$ .

Gilt $s = {liminf}_{k \to \infty} x_{k} > 1$ , dann existiert für jedes $r \in] 1, s [$ ein $N_{r, s} \in ℕ$ , so daß $x_{k} > r$ für alle $k \geq N_{r, s}$ .

Gilt $s = {limsup}_{k \to \infty} x_{k} > 1$ , dann existiert für jedes $r \in [1, s [$ eine unendliche Teilfolge $x_{k_{l} (r, s)} > r$ .

2Diese Argumentation gilt auch, wenn eine oder beide der Folgen ${y_{n}}$ bzw. ${z_{n}}$ bestimmt divergiert.

1.5.1. Der obere und der untere Grenzwert.