Das Vergleichskriterium in Limesform.

SATZ 1.5.4. Es sei $a_{k} \geq 0$ und $b_{k} > 0$ für $k \in ℕ$ und

\underset{k \to \infty}{limsup} \frac{a_{k}}{b_{k}} < + \infty .

Dann folgt aus der Konvergenz der Reihe $\sum_{k = 1}^{\infty} b_{k}$ die Konvergenz der Reihe $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}$ und damit aus der Divergenz der Reihe Reihe $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}$ auch die Divergenz er Reihe $\sum_{k = 1}^{\infty} b_{k}$ .

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Wegen

{limsup}_{k \to \infty} \frac{a_{k}}{b_{k}} < + \infty

ist die Folge

\frac{a_{k}}{b_{k}}

beschränkt, d.h.

a_{k} \leq C b_{k}

für

n \in ℕ

. Damit sind die Voraussetzungen von Satz 1.4.1 erfüllt.

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1.5.2. Das Vergleichskriterium in Limesform.