Das Wurzelkriterium in Limesform.

1.5.3. Das Wurzelkriterium in Limesform.

SATZ 1.5.5. Es sei $a_{k} \geq 0$ für $k \in ℕ$ . Gilt ${limsup}_{k \to \infty} \sqrt[k]{a_{k}} < 1$ , dann konvergiert die Reihe $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}$ . Falls hingegen ${limsup}_{k \to \infty} \sqrt[k]{a_{k}} > 1$ , dann divergiert die Reihe $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}$ .

$▸$ Aus $s = {limsup}_{k \to \infty} \sqrt[k]{a_{k}} < 1$ folgt $\sqrt[k]{a_{k}} < r$ für $s < r < 1$ und $k \geq N_{r, s}$ . Falls hingegen ${limsup}_{k \to \infty} \sqrt[k]{a_{k}} > 1$ , dann existieren unendlich viele $k$ mit $a_{k} \geq 1$ . Damit folgen die Aussagen direkt aus Satz 1.4.4. $◂$

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