Das Quotientenkriterium in Limesform.

SATZ 1.5.6. Es sei $a_{k} > 0$ für $k \in ℕ$ . Gilt ${limsup}_{k \to \infty} \frac{a_{k + 1}}{a_{k}} < 1$ , dann konvergiert die Reihe $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}$ . Gilt hingegen ${liminf}_{k \to \infty} \frac{a_{k + 1}}{a_{k}} > 1$ , dann divergiert die Reihe $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}$ .

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Falls

s = {limsup}_{k \to \infty} \frac{a_{k + 1}}{a_{k}} < 1

, dann gilt

\frac{a_{k + 1}}{a_{k}} < r

für

s < r < 1

und

k \geq N_{r, s}

. Die erste Aussage folgt damit aus Satz 1.4.6. Falls

s = {liminf}_{k \to \infty} \frac{a_{k + 1}}{a_{k}} > 1

, so gilt

\frac{a_{k + 1}}{a_{k}} > r

für

1 < r < s

und

k \geq N_{r, s}

, damit ist der Fall der Divergenz auf Satz 1.4.6 zurückgeführt.

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BEISPIEL 1.5.7. Es sei $β \in ℝ$ und $q > 0$ . Wir untersuchen die Reihe $\sum_{k = 1}^{\infty} k^{β} q^{k}$ auf Konvergenz. Für $a_{k} = k^{β} q^{k}$ folgt

a_{k}^{1 ∕ k} = q k^{β ∕ k} \to q für k \to \infty .

Nach dem Wurzelkriterium konvergiert $\sum_{k = 1}^{\infty} k^{β} q^{k}$ für $q \in] 0, 1 [$ und divergiert für $q > 1$ unabhängig vom Wert von $β$ . Für $q = 1$ liefert das Wurzelkriterium keine Antwort. Die Reihe $\sum_{k = 1}^{\infty} k^{β} q^{k}$ geht dann in die harmonische Reihe $\sum_{k = 1}^{\infty} k^{β}$ über, welche für $β < - 1$ konvergiert und für $β \geq - 1$ divergiert.

1.5.4. Das Quotientenkriterium in Limesform.