Es sei eine Folge reeller oder komplexer Zahlen. Dieser ordnet man die Potenzreihe zu. Konvergiert diese Potenzreihe für (im üblichen Sinne) bedingt gegen einen Wert
und besitzt den linksseitigen Grenzwert
so konvergiert die Reihe im Sinne von Poisson und Abel und nimmt dabei den Wert an.
BEISPIEL 1.9.1. Es sei , . Dann konvergiert die geometrische Reihe
und besitzt für den linksseitigen Grenzwert
Damit konvergiert die Reihe
im Sinne von Poisson und Abel gegen den Wert .
Die Linearität dieser Definition ist offensichtlich. Der folgende Satz von Abel, welchen wir ohne Beweis angeben, sichert die Regularität dieser Summationsmethode.
Umgekehrt folgt aus der Existenz des linksseitigen Grenzwertes
im Allgemeinen nicht die Konvergenz der Reihe im üblichen Sinne.
Wir formulieren an dieser Stelle noch den Satz von Tauber, welcher ein hinreichendes Kriterium dafür liefert, wann eine nach Poisson und Abel konvergente Reihe auch im üblichen Sinne konvergiert: