Die Methode der arithmetischen Mittel nach Cesaro.

1.9.3. Die Methode der arithmetischen Mittel nach Cesaro.

Es sei ${a_{k}}_{k = 1}^{\infty}$ eine Folge reeller oder komplexer Zahlen. Wir betrachten die Folge der Partialsummen $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k}$ . Konvergiert die Folge der arithmetischen Mittel der Partialsummen

lim_{n \to \infty} \frac{S_{1} + \dots + S_{n}}{n} = S,

dann konvergiert die Reihe $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}$ im Sinne der arithmetischen Mittel von Cesaro und nimmt dabei den Wert $S$ an.

AUFGABE 1.9.4. Beweisen Sie die Regularität und die Linearität dieser Summationsmethode!

BEISPIEL 1.9.5. Es sei $a_{k} = {(- 1)}^{k + 1}$ , $k \in ℕ$ . Dann gilt

S_{1} = 1, S_{2} = 0, S_{3} = 1, S_{4} = 0, \dots

und folglich

lim_{n \to \infty} \frac{S_{1} + \dots + S_{n}}{n} = \frac{1}{2} .

Damit konvergiert die Reihe $\sum_{k = 1}^{\infty} {(- 1)}^{k + 1}$ im Sinne der arithmetischen Mittel von Cesaro und nimmt den Wert $\frac{1}{2}$ an.

Im Vergleich mit Beispiel 1.9.1 sehen wir, daß die untersuchte Reihe nach Poisson-Abel und nach Cesaro den gleichen Grenzwert annimmt. Dies illustriert den folgenden Satz von Frobenius, welcher die Theorie der Summierbarkeit nach Cesaro mit der Summierbarkeit nach Poisson und Abel verbindet:

SATZ 1.9.6. Konvergiert die Reihe $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}$ im Sinne der arithmetischen Mittel von Cesaro, so konvergiert diese Reihe ebenfalls nach der Potenzreihenmethode von Poisson und Abel gegen denselben Grenzwert.

AUFGABE 1.9.7. Untersuchen Sie, ob die Reihe $1 - 2 + 3 - 4 + \dots$ nach Cesaro bzw. nach Poisson-Abel konvergiert und berechnen Sie gegebenenfalls den Wert dieser Reihe.

Da Cesaro-konvergente Reihen auch nach Poisson-Abel konvergieren, so läßt sich zur Überprüfung der gewöhnlichen Konvergenz natürlich der Satz von Tauber anwenden. Man kann diesen Satz aber unter der stärkeren Voraussetzung der Cesaro-Konvergenz zum Satz von Hardy verfeinern:

SATZ 1.9.8. Konvergiert die Reihe $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}$ nach Cesaro gegen $A$ und gilt

| n a_{n} | \leq C, n \in ℕ,

so konvergiert die Reihe $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}$ auch im üblichen Sinne gegen $A .$

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