DEfiNITION 2.1.3. Es seien $\left(M_1,d_1\right)$ und $\left(M_2,d_2\right)$ metrische Räume sowie $X\subset M_1$. Wir betrachten eine Funktion $f:X\times P\to M_2$. Es sei $x^{\ast }\in \text{acc}\left(X\right)\cap X$. Wir sagen, daß der Grenzwert

gleichmäßig bezüglich $p\in P$ erreicht wird, wenn folgende Aussage wahr ist

$${\forall }_{\epsilon >0}{\exists }_{\delta =\delta \left(\epsilon \right)>0}{\forall }_{x\in U\left(x^{\ast },\delta \right)\cap X\backslash \left\{x^{\ast }\right\}}{\forall }_{p\in P}f\left(x,p\right)\in U\left(g\left(p\right),\epsilon \right).$$

(2.1.5.1)

AUFGABE 2.1.4. Es sei (2.1.5.1) erfüllt. Für eine gegebene Folge ${\left\{x_k\right\}}_{k\in \mathbb{N}}$ mit $x_k\in X$ und $x_k\to x^{\ast }$ für $k\to \infty$ setze man $f_k\left(p\right)=f\left(x_k,p\right)$. Dann konvergiert $f_k\left(p\right)$ für $k\to \infty$ gleichmäßig gegen $g\left(p\right)$ bezüglich $p\in P$.

DEfiNITION 2.1.5. Es sei $a:\mathbb{N}\times P\to K^p$ eine Folge von Abbildungen $a_k:P\to K^p$. Wir betrachten die Partialsumme

Man sagt, daß die Reihe ${\sum }_{k=1}^{\infty }{a}_k\left(p\right)$ gleichmäßig bezüglich $p\in P$ konvergiert genau dann, wenn die Folge ${\left\{S_n\left(p\right)\right\}}_{n\in \mathbb{N}}$ gleichmäßig bezüglich $p\in P$ konvergiert.

DEfiNITION 2.1.6. Es sei $f:[0,+\infty [\times P\to K^n$ und $f\left(\cdot ,p\right)$ sei für jedes fixierte $p\in P$ auf jedem endlichen Intervall $\left[0,c\right]$ integrierbar. Das uneigentliche Integral ${\int \; <!--nolimits-->}_0^{\infty }f\left(x,p\right)dx$ konvergiert gleichmäßig bezüglich $p\in P$ gegen $g\left(p\right)$ genau dann, wenn folgende Aussage gilt