Gleichmaßig stetige Funktionen.

2.1.4. Gleichmäßig stetige Funktionen.

Ein weiteres Beispiel für die Anwendung des Prinzips der Gleichmäßigkeit ist der Begriff der gleichmäßigen Stetigkeit. Es seien $(M_{1}, d_{1})$ und $(M_{2}, d_{2})$ metrische Räume sowie $X \subset M_{1}$ . Wir betrachten eine Funktion $f : X \to M_{2}$ .

Wie bekannt heißt die Funktion $f$ stetig, falls $f$ in allen Punkten $x \in X$ stetig ist, d.h.

\forall_{x \in X} \forall_{ε > 0} \exists_{δ (x, ε) > 0} \forall_{x^{'} \in U (x, δ (x, ε))} f (x^{'}) \in U (f (x), ε) .

Dabei hängt für gegebenes $ε > 0$ der Wert von $δ (x, ε)$ im Allgemeinen von $x$ ab. Kann man hingegen $δ = δ (ε)$ unabhängig von $x \in X$ wählen, so nennt man $f$ gleichmäßig stetig1

\forall_{ε > 0} \exists_{δ (ε) > 0} \forall_{x \in X} \forall_{x^{'} \in U (x, δ (x, ε))} f (x^{'}) \in U (f (x), ε) .

Gleichmäßige Stetigkeit impliziert Stetigkeit, die Umkehrung gilt nicht.

Wir Erinnern in diesem Zusammenhang an den Satz von Cantor, nachdem jede auf einer kompakten Menge $X \subset M_{1}$ definierte stetige Funktion auch gleichmäßig stetig ist.

1Hierbei spielt $X$ die Rolle der Parametermenge $P$ .

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