Ein hinreichendes und notwendiges Kriterium fur gleichmaßigen Konvergenz.

SATZ 2.1.2. Die Folge ${a_{k} (p)}_{k \in ℕ}$ konvergiert genau dann für $k \to \infty$ gleichmäßig gegen $α (p) \in M$ bezüglich $p \in P$ , wenn

lim_{k \to \infty} (sup_{p \in P} d (a_{k} (p), α (p))) = 0 .

(2.1.3.1)

$▸$ Angenommen es gilt (2.1.3.1), d.h.

\forall_{ε > 0} \exists_{N = N_{ε} \in ℕ} \forall_{k \geq N_{ε}} [sup_{p \in P} d (a_{k} (p), α (p)) < ε] .

(2.1.3.2)

Aus $sup_{p \in P} d (a_{k} (p), α (p)) < ε$ folgt $d (a_{k} (p), α (p)) < ε$ für alle $p \in P$ . Demnach impliziert (2.1.3.2)

\forall_{ε > 0} \exists_{N = N_{ε} \in ℕ} \forall_{p \in P} \forall_{k \geq N_{ε}} [d (a_{k} (p), α (p)) < ε],

(2.1.3.3)

also liegt gleichmäßige Konvergenz vor.

Umgekehrt impliziert (2.1.3.3) $d (a_{k} (p), α (p)) < \frac{ε}{2}$ für alle $p \in P$ und $k \geq N_{ε ∕ 2}$ , und damit

0 \leq sup_{p \in P} d (a_{k} (p), α (p)) \leq \frac{ε}{2} < ε, k \geq Ñ_{ε} = N_{ε ∕ 2} .

Dies ist gleichbedeutend mit (2.1.3.2), wenn man $N_{ε}$ durch $Ñ_{ε}$ ersetzt. $◂$