Punktweise und gleichmaßige Konvergenz von Funktionenfolgen.

Wir illustrieren dieses Prinzip am uns schon bekannten Beispiel der punktweisen und der gleichmäßigen Konvergenz. Es sei

(M, d)

ein metrischer Raum und wir betrachten eine Abbildung

a : ℕ \times P \to (M, d)

, d.h. eine Folge von Funktionen

a_{k} (\cdot) : P \to M

für

k \in ℕ

Man sagt, daß diese Funktionenfolge punktweise konvergiert, wenn für jedes

p \in P

die Folge der

a_{k} (p) \in M

(M, d)

konvergiert, d.h.

Die Wahl des geeigneten

N = N (p, ε)

kann sowohl von

ε > 0

als auch von

p \in P

abhängen. Kann man darüber hinaus für jedes

ε > 0

ein geeignetes

N = N (ε)

finden, welches unabhängig von

p \in P

ist, so spricht man von gleichmäßiger Konvergenz:

Gleichmäßige Konvergenz impliziert offensichtlich punktweise Konvergenz. Die Umkehrung gilt nicht, wie man am folgenden Beispiel sieht:

BEISPIEL 2.1.1. Es sei $a_{k} (p) = \frac{k p}{1 + k^{2} p^{2}}$ für $p \in P = [0, 1]$ , $k \in ℕ$ . Offensichtlich gilt $lim_{k \to \infty} a_{k} (p) = 0$ für jedes $p \in [0, 1]$ . Auf der anderen Seite impliziert für $p \in] 0, 1]$ die Ungleichung

a_{k} (p) = \frac{k p}{1 + k^{2} p^{2}} < ε, 0 < ε, k \geq N (p, ε),

die Abschätzung

N (p, ε) > \frac{1}{2 p ε} (1 + \sqrt{1 - \frac{1}{4 ε^{2}}}) .

Für kleine Werte von $p$ sieht man, daß für gegebenes $ε \in]0, \frac{1}{4}[$ die Zahl $N = N (p, ε)$ nicht unabhängig vom Parameter $p \in [0, 1]$ gewählt werden kann. Damit liegt keine gleichmäßige Konvergenz vor.

Betrachtet man hingegen die gleiche Folge $a_{k} (p)$ bezüglich einer anderen Parametermenge, z.B. $p \in P^{'} = [\frac{1}{2}, 1],$ so kann man

N (ε) = \frac{1}{2 \cdot 2^{- 1} \cdot ε} (1 + \sqrt{1 - \frac{1}{4 ε^{2}}}) + 1

unabhängig von $p \in P^{'}$ wählen. Damit konvergiert $a_{k} (p)$ für $k \to \infty$ gleichmäßig bezüglich des Parameters $p \in P^{'} = [\frac{1}{2}, 1]$ .

2.1.2. Punktweise und gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen.