Problemstellung.

2.2.1. Problemstellung.

Es sei $(M, d)$ ein metrischer Raum. Wir betrachten (Doppel)folgen $a : ℕ \times ℕ \to M$ mit den Elementen $a_{n, p} \in M$ für $n, p \in ℕ$ . Angenommen, für jedes $p \in ℕ$ bzw. für jedes $n \in ℕ$ existieren die Grenzwerte

u (p) = lim_{n \to \infty} a_{n, p}, v (n) = lim_{p \to \infty} a_{n, p} .

Weiterhin seien die beiden Folgen ${u (p)}_{p \in ℕ}$ und ${v (n)}_{n \in ℕ}$ konvergent. Man kann sich dann die Frage stellen, ob

lim_{n \to \infty} v (n) = lim_{n \to \infty} (lim_{p \to \infty} a_{n, p}) = lim_{p \to \infty} (lim_{n \to \infty} a_{n, p}) = lim_{p \to \infty} u (p)

gilt, d.h. ob man die Ordnung der Grenzwerte $lim_{n \to \infty}$ und $lim_{p \to \infty}$ vertauschen kann.

Das folgende Beispiel zeigt, daß diese Frage im Allgemeinen negativ beantwortet werden muß.

BEISPIEL 2.2.1. Es sei $a_{n, p} = \frac{n}{1 + n + p}$ mit $n, p \in ℕ$ . Dann gilt offensichtlich

\begin{array}{rcl} v (n) = lim_{p \to \infty} a_{n, p} = 0 & für  alle & n \in ℕ, \\ u (p) = lim_{n \to \infty} a_{n, p} = 1 & für  alle & p \in ℕ . \end{array}

Daraus folgt

lim_{p \to \infty} u (p) = 1 \neq lim_{n \to \infty} v (n) = 0 .

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