Der Satz uber das Vertauschen von Grenzwerten.

2.2.2. Der Satz über das Vertauschen von Grenzwerten.

WIr formulieren und beweisen jetzt den zentralen Satz dieses Kapitels.

SATZ 2.2.2. Es sei $(M, d)$ ein vollständiger metrischer Raum und $a : ℕ \times ℕ \to M$ eine Doppelfolge von Elementen $a_{n, p} \in M$ . Angenommen es existieren die Grenzwerte

\begin{array}{rcl} v (n) = lim_{p \to \infty} a_{n, p} & für  alle & n \in ℕ, & (2.2.2.1) \\ u (p) = lim_{n \to \infty} a_{n, p} & für  alle & p \in ℕ, & (2.2.2.2) \end{array}

und der Grenzwerte (2.2.2.1) wird gleichmäßig bezüglich des Parameters $n \in ℕ$ oder der Grenzwert (2.2.2.2) wird gleichmäßig bezüglich des Parameters $p \in ℕ$ erreicht. Dann konvergieren die beiden Folgen ${u (p)}_{p \in ℕ}$ und ${v (n)}_{n \in ℕ}$ , wobei gilt

lim_{n \to \infty} v (n) = lim_{n \to \infty} (lim_{p \to \infty} a_{n, p}) = lim_{p \to \infty} (lim_{n \to \infty} a_{n, p}) = lim_{p \to \infty} u (p) .

Wir merken an, das in diesem Satz die Existenz der Grenzwerte

lim_{p \to \infty} u (p) und lim_{n \to \infty} v (n)

nicht vorausgesetzt wird, diese folgt aus der gleichmäßigen Konvergenz von (2.2.2.1) bzw. (2.2.2.2).

$▸$ O.B.d.A. werde de Grenzwert (2.2.2.1) gleichmäßig erreicht.

Schritt 1: Die Konvergenz von $lim_{p \to \infty} u (p)$ . Nach der Dreiecksungleichung gilt

d (u (p), u (q)) \leq d (u (p), a_{n, p}) + d (a_{n, p}, a_{n, q}) + d (a_{n, q}, u (q)) .

Da $a_{n, p}$ für $n \to \infty$ gleichmäßig bezüglich $p \in P$ gegen $u (p)$ konvergiert, so gilt

\forall_{ε > 0} \exists_{N (ε) \in ℕ} \forall_{n \geq N (ε)} \forall_{\tilde{p} \in P} d (u (\tilde{p}), a_{n, \tilde{p}}) < ε .

(2.2.2.3)

Für vorgegebenes $ε > 0$ und $n = N (ε)$ sowie $\tilde{p} = p$ bzw. $\tilde{p} = q$ folgt insbesondere

d (u (p), u (q)) < 2 ε + d (a_{N (ε), p}, a_{N (ε), q}), p, q \in ℕ .

Da nach (2.2.2.1) insbesondere die Folge ${a_{N (ε), p}}_{p \in ℕ}$ für $p \to \infty$ konvergiert, so ist dies eine Cauchy-Folge und es existiert ein $N^{'} = N^{'} (N (ε), ε)$ , so daß $d (a_{N (ε), p}, a_{N (ε), q}) < ε$ für alle $p, q \geq N^{'} (N (ε), ε)$ und folglich

d (u (p), u (q)) < 3 ε für p, q \geq N^{'} (N (ε), ε) .

Daraus folgt ${u (p)}_{p \in ℕ} \in C F (M)$ . Da $M$ vollständig ist, so besitzt die Folge ${u (p)}_{p \in ℕ}$ einen Grenzwert $lim_{p \to \infty} u (p) = w \in M$ .

Schritt 2: Die Konvergenz von $lim_{n \to \infty} v (n)$ .2Wegen der gleichmäßigen Konvergenz von (2.2.2.1) existiert in Übereinstimmung mit (2.2.2.3) ein $N = N (ε)$ , so daß

d (a_{n, p}, u (p)) < ε für  alle p \in ℕ und  für  alle n \geq N (ε) .

Geht man in dieser Ungleichung zum Grenzwert $p \to \infty$ über, so folgt aus

lim_{p \to \infty} a_{n, p} = v (n), lim_{p \to \infty} u (p) = w,

sowie aus der Stetigkeit der Abstandsfunktion

d (v (n), w) \leq ε für  alle n \geq N (ε) .

Damit gilt

lim_{n \to \infty} v (n) = w = lim_{p \to \infty} u (p) .

$◂$

AUFGABE 2.2.3. Es seien ${x_{k}}_{k \in ℕ}$ und ${y_{k}}_{k \in ℕ}$ Folgen in $M$ , so daß $x_{k} \to a \in M$ und $y_{k} \to b \in M$ für $k \to \infty$ . Zeigen Sie, daß dann $lim_{k \to \infty} d (x_{k}, y_{k}) = d (a, b)$ .

2Setzt man o.B.d.A. die gleichmäßige Konvergenz von (2.2.2.1) voraus, so konvergiert im Rahmen von Satz 2.2.2 (2.2.2.2) nicht notwendigerweise gleichmäßig. Damit kann man die Argumentation von Schritt 1 des Beweises nicht einfach duplizieren.

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