Eine Anwendung.

2.3.6. Eine Anwendung.

Es sei $(M, d)$ ein metrischer Raum und $X \subset M$ . Desweiteren sei $f_{k} : X \to K^{d}$ , $k \in ℕ$ , eine Familie von stetigen Funktionen, welche die gleichmäßige Abschätzung

∥ f_{k} (x) ∥ \leq C, x \in X, k \in ℕ,

erfüllen. Wir betrachten eine Folge ${a_{k}}_{k \in ℕ}$ mit Gliedern $a_{k} \in K$ , $k \in ℕ$ , so daß die Reihe $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}$ absolut konvergiert. Dann konvergiert die Reihe

S (x) = \sum_{k = 1}^{\infty} a_{k} f_{k} (x) gleichmäßig  bezüglich x \in X,

und damit ist nach Satz 2.3.4 die Funktion $S (x)$ stetig. Tatsächlich, es gilt

\begin{array}{rcl} ∥ S_{n} (x) - S (x) ∥ & = & ∥ \sum_{k = n + 1}^{\infty} a_{k} f_{k} (x) ∥ \\ \leq & \sum_{k = n + 1}^{\infty} | a_{k} | ∥ f_{k} (x) ∥ \leq C \sum_{k = n + 1}^{\infty} | a_{k} | . \end{array}

Aufgrund der absoluten Konvergenz der Reihe $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}$ existiert also für gegebenes $ε > 0$ ein $N (ε)$ , so daß

\sum_{k = n + 1}^{\infty} | a_{k} | = \sum_{k = 1}^{\infty} | a_{k} | - \sum_{k = 1}^{n} | a_{k} | < ε für  alle n \geq N (ε),

und damit

∥ S_{n} (x) - S (x) ∥ \leq C ε für  alle x \in X, n \geq N (ε),

was die gleichmäßige Konvergenz von $S_{n} (x) \to S (x)$ impliziert.

Der Leser kann die obige Beobachtung leicht zum Beweis für folgenden wichtigen Spezialfall modifizieren:

SATZ 2.3.5. Es sei ${a_{k}}_{k \in ℤ}$ eine Folge komplexer Zahlen, so daß die Reihe $\sum_{k \in ℤ} | a_{k} |$ konvergiert. Dann konvergieren die Funktionenreihen

s (x) = \sum_{k = 1}^{\infty} a_{k} sin k x, c (x) = \sum_{k = 0}^{\infty} a_{k} cos k x, e (x) = \sum_{k \in ℤ} a_{k} e^{i k x},

gleichmäßig in $x \in ℝ$ gegen stetige Funktionen $s : ℝ \to ℂ$ , $c : ℝ \to ℂ$ bzw. $e : ℝ \to ℂ$ .

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