Das Cauchy-Kriterium zur gleichmaßigen Konvergenz von Folgen.

2.10.1. Das Cauchy-Kriterium zur gleichmäßigen Konvergenz von Folgen.

SATZ 2.10.1. Es sei $P$ eine Menge und $(M, d)$ ein vollständiger metrischer Raum. Wir betrachten eine Funktionenfolge $f_{n} : P \to M$ , $n \in ℕ$ . Dann existiert eine Abbildung $f : P \to M$ , so daß der Grenzwert

f (p) = lim_{n \to \infty} f_{n} (p) gleichmäßig  bezüglich p \in P

(2.10.1.1)

angenommen wird genau dann, wenn folgende Aussage wahr ist

\forall_{ε > 0} \exists_{N_{ε}} \forall_{m, n \geq N_{ε}} \forall_{p \in P} d (f_{n} (p), f_{m} (p)) < ε .

(2.10.1.2)

$▸$ Angenommen (2.10.1.2) gilt. Dann folgt für jedes fixierte $p \in P$ auch ${f_{n} (p)}_{n \in ℕ} \in C F (M)$ . Da $M$ vollständig ist, so existieren punktweise die Grenzwerte

f (p) = lim_{n \to \infty} f_{n} (p) \in M, p \in P .

Geht man in der Ungleichung

d (f_{n} (p), f_{m} (p)) < ε, m, n \geq N_{ε},

zum Grenzwert

d (f (p), f_{m} (p)) = lim_{n \to \infty} d (f_{n} (p), f_{m} (p)) \leq ε, p \in P, m \geq N_{ε},

über, so folgt zudem die Gleichmäßigkeit in (2.10.1.1).

Umgekehrt bedeutet (2.10.1.1)

\forall_{ε > 0} \exists_{N_{ε}} \forall_{n \geq N_{ε}} \forall_{p \in P} d (f_{n} (p), f (p)) < ε

und damit

d (f_{n} (p), f_{m} (p)) \leq d (f_{n} (p), f (p)) + d (f_{m} (p), f (p)) < 2 ε

für alle $m, n \geq N_{ε}$ . $◂$

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