Das Cauchy-Kriterium zur gleichmaßigen Konvergenz von Reihen.

SATZ 2.10.2. Es sei $P$ eine Menge. Wir betrachten eine Funktionenfolge $a_{n} : P \to K^{d}$ , $n \in ℕ$ . Die Reihe

S (p) = \sum_{k = 1}^{\infty} a_{k} (p) konvergiert  gleichmäßig  bezüglich p \in P

genau dann, wenn folgende Aussage wahr ist

\forall_{ε > 0} \exists_{N_{ε}} \forall_{m, n \geq N_{ε}} \forall_{p \in P} ∥\sum_{k = n + 1}^{m} a_{k} (p)∥ < ε .

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Die Aussage folgt direkt aus Satz 2.10.1 bei Betrachtung der Funktionenfolge

f_{n} (x) = \sum_{k = 1}^{n} a_{k} (x)

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