Das Cauchy-Kriterium zur gleichmaßigen Konvergenz uneigentlicher Integrale.

SATZ 2.10.3. Für die Funktion $f : P \times [0, + \infty [\to K^{d}$ sei für alle fixierten $p \in P$ die Abbildung $f (p, \cdot) : [0, + \infty [\to K^{d}$ auf jedem endlichen Intervall $[0, R]$ integrierbar. Das uneigentliche Integral

J (p) = \int_{0}^{\infty} f (p, y) d y konvergiert  gleichmäßig  bezüglich p \in P

genau dann, wenn folgende Aussage wahr ist

\forall_{ε > 0} \exists_{R (ε) \geq 0} \forall_{R_{1}, R_{2} \geq R (ε)} \forall_{p \in P} ∥\int_{R_{1}}^{R_{2}} f (p, y) d y∥ < ε .

2.10.3. Das Cauchy-Kriterium zur gleichmäßigen Konvergenz uneigentlicher Integrale.