Das Majorantenkriterium von Weierstrass.

2.10.4. Das Majorantenkriterium von Weierstrass.

SATZ 2.10.5. Es sei ${b_{n}}_{n \in ℕ}$ eine Folge positiver Zahlen, für welche die Reihe $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$ konvergiert. Desweiteren erfülle die Funktionenfolge $a_{n} : P \to K^{d}$ , $n \in ℕ$ die Ungleichung

∥ a_{n} (p) ∥ \leq b_{n}, n \in ℕ, p \in P .

Dann konvergiert die Reihe

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} (p) gleichmäßig  bezüglich p \in P .

$▸$ Wenn die Reihe $\sum_{k = 1}^{\infty} b_{k}$ konvergiert, so gilt nach dem Cauchy-Kriterium (1.2.1.1)

\forall_{ε > 0} \exists_{N_{ε}} \forall_{n, m \geq N_{ε}} \sum_{k = n}^{m} b_{k} < ε .

∥\sum_{k = n}^{m} a_{k} (p)∥ \leq \sum_{k = n}^{m} ∥a_{k} (p)∥ \leq \sum_{k = n}^{m} b_{k}, m, n \in ℕ, p \in P,

so folgt

\forall_{ε > 0} \exists_{N_{ε}} \forall_{n, m \geq N_{ε}} \forall_{p \in P} ∥\sum_{k = n}^{m} a_{k} (p)∥ < ε .

Nach Satz 2.10.2 konvergiert $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} (p)$ damit gleichmäßig bezüglich des Parameters $p \in P$ . $◂$

SATZ 2.10.6. Für die Funktion $f : P \times [0, + \infty [\to K^{d}$ sei für alle fixierten $p \in P$ die Abbildung $f (p, \cdot) : [0, + \infty [\to K^{d}$ auf jedem endlichen Intervall $[0, R]$ integrierbar. Desweiteren existiere eine Funktion $g : [0, + \infty [\to [0, + \infty [$ , so daß

∥f (p, y)∥ \leq g (y), p \in P, y \in [0, + \infty [.

Dann konvergiert das uneigentliche Integral

J (p) = \int_{0}^{\infty} f (p, y) d y gleichmäßig  bezüglich p \in P .

$▸$ Der Satz folgt wie oben aus (1.2.1.2) und dem Cauchy-Kriterium für gleichmäßige Konvergenz in Satz 2.10.6 sowie der Abschätzung

∥\int_{R_{1}}^{R_{2}} f (p, y) d y∥ \leq \int_{R_{1}}^{R_{2}} ∥f (p, y)∥ d y \leq \int_{R_{1}}^{R_{2}} g (y) d y < ε

für $R_{1}, R_{2} \geq R (ε)$ . $◂$

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