Definition des Konvergenzkreises und der Konvergenzradiuses.

Es sei

a_{k}

k = 0, 1, 2, \dots

eine Folge komplexer Zahlen sowie

z \in ℂ

und

z^{*} \in ℂ

. Wir betrachten die Funktionen

Durch die Transformation

\tilde{z} = z - z^{*}

kann man die Reihe (2.11.1.1) auf

a_{0} + \sum_{k = 1}^{\infty} a_{k} {\tilde{z}}^{k}

zurückführen. Wir nehmen daher im weiteren an, daß

z^{*} = 0

gilt. Außerdem schreiben wir die Potenzreihe kurz als

\sum_{k = 0}^{\infty} a_{k} {\tilde{z}}^{k}

, d.h.

{\tilde{z}}^{0} = 1

auch für

\tilde{z} = 0

DEfiNITION 2.11.1. Wir sagen, die Potenzreihe $S (z) = \sum_{k = 0}^{\infty} a_{k} z^{k}$ besitzt einen Konvergenzkreis $U_{R} = {z \in ℂ | | z | < R}$ mit einem Konvergenzradius $R \in [0, + \infty [\cup {+ \infty}$ genau dann, wenn

\begin{array}{rcl} S (z) & für & | z | < R {k o n v e r g i e r t u n d} \\ S (z) & für & | z | > R divergiert . \end{array}

Die Konvergenz oder Divergenz für $| z | = R$ wird bei dieser Definition nicht berücksichtigt. Für $R = 0$ konvergiert $S (z)$ nur für $z = 0$ , für $R = + \infty$ konvergiert $S (z)$ für alle $z \in ℂ$ .

2.11.1. Definition des Konvergenzkreises und der Konvergenzradiuses.