Der Satz von Cauchy und Hadamard.

2.11.2. Der Satz von Cauchy und Hadamard.

SATZ 2.11.2. Jede Potenzreihe $\sum_{k = 0}^{\infty} a_{k} z^{k}$ mit $a_{k} \in ℂ$ und $z \in ℂ$ besitzt einen Konvergenzkreis mit dem Konvergenzradius

R = \frac{1}{\underset{k \to \infty}{limsup} | a_{k} |^{1 ∕ k}} .

$▸$ Wir wenden auf $\sum_{k = 0}^{\infty} a_{k} z^{k}$ das Wurzelkriterium von Cauchy zur Konvergenz von Reihen in der Limesform an. Ist $z \in ℂ$ mit $| z | < R$ , dann gilt

\underset{k \to \infty}{limsup} {|a_{k} z^{k}|}^{1 ∕ k} = | z | \underset{k \to \infty}{limsup} | a_{k} |^{1 ∕ k} = \frac{| z |}{R} < 1 .

Damit konvergiert nach Satz 1.5.5 die Reihe $\sum_{k = 0}^{\infty} a_{k} z^{k}$ .

Umgekehrt liefert die gleiche Rechnung ${limsup}_{k \to \infty} {|a_{k} z^{k}|}^{1 ∕ k} > 1$ für $| z | ∕ R$ und damit nach Satz 1.5.5 die Divergenz. $◂$

Man beachte, daß dieser Satz keine Aussage zur Konvergenz für $| z | = R$ liefert.

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