Absolute und gleichmaßige Konvergenz von Potenzreihen.

2.11.3. Absolute und gleichmäßige Konvergenz von Potenzreihen.

SATZ 2.11.3. Angenommen die Potenzreihe $\sum_{k = 0}^{\infty} a_{k} z^{k}$ konvergiert für ein gewisses $z = z_{0} \in ℂ$ . Dann konvergiert diese Reihe absolut für alle $z \in ℂ$ mit $| z | < z_{0} .$

$▸$ Nach Satz 2.11.2 besitzt $\sum_{k = 0}^{\infty} a_{k} z^{k}$ einen Konvergenzkreis mit dem Konvergenzradius $R$ . Konvergiert diese Reihe für ein gewisses $z = z_{0}$ , so gilt nach der Definition des Konvergenzkreises $| z_{0} | \leq R$ . Dann erfüllt wie im Beweis von Satz 2.11.2 die Reihe $\sum_{k = 0}^{\infty} | a_{k} z^{k} |$ das Wurzelkriterium für $| z | < | z_{0} | \leq R$ und damit ist $\sum_{k = 0}^{\infty} | a_{k} z^{k} |$ konvergent. $◂$

KOROLLAR 2.11.4. Es sei $R > 0$ der Konvergenzradius der Potenzreihe $\sum_{k = 0}^{\infty} a_{k} z^{k}$ . Dann konvergiert diese Potenzreihe absolut im Inneren des Konvergenzkreises $U_{R}$ .

AUFGABE 2.11.5. Beweisen Sie diese Aussage ausgehend von Satz 2.11.3!

SATZ 2.11.6. Die Potenzreihe $\sum_{k = 0}^{\infty} a_{k} z^{k}$ besitze einen Konvergenzradius $R > 0$ . Dann konvergiert für jedes fixierte $R_{1} \in [0, R [$ die Reihe $\sum_{k = 0}^{\infty} a_{k} z^{k}$ gleichmäßig bezüglich $z \in \bar{U_{R_{1}}} = {z \in ℂ | | z | \leq R_{1}}$ .

$▸$ Da $R_{1} < R$ , so konvergiert nach Korollar 2.11.4 die Reihe $\sum_{k = 0}^{\infty} a_{k} R_{1}^{k}$ absolut, d.h. $\sum_{k = 0}^{\infty} | a_{k} | R_{1}^{k}$ ist konvergent. Wegen $| a_{k} z^{k} | \leq | a_{k} | R_{1}^{k}$ für $| z | \leq R_{1}$ folgt nach dem Majorantenkriterium von Weierstrass die gleichmäßige Konvergenz von $\sum_{k = 0}^{\infty} a_{k} z^{k}$ für $z \in \bar{U_{R_{1}}}$ . $◂$

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