Zur Differentation von Potenzreihen. Reelle Differenzierbarkeit.

2.11.4. Zur Differentation von Potenzreihen. Reelle Differenzierbarkeit.

LEMMA 2.11.7. Die Konvergenzradien der Potenzreihen $\sum_{k = 0}^{\infty} a_{k} z^{k}$ und $\sum_{k = 1}^{\infty} k a_{k} z^{k - 1}$ stimmen überein.

$▸$ Das Lemma folgt direkt aus der Formel für den Konvergenzradius in Satz 2.11.2 sowie dem bekannten Grenzwert $lim_{k \to \infty} k^{1 ∕ (k - 1)} = 1$ . $◂$

Als eine Folgerung aus diesem Lemma konvergieren beide Reihen

S (z) = \sum_{k = 0}^{\infty} a_{k} z^{k} und S_{1} (z) = \sum_{k = 1}^{\infty} k a_{k} z^{k - 1},

falls deren Konvergenzradius $R$ nicht verschwindet, im Inneren ein und desselben Konvergenzkreises $U_{R}$ absolut als auch in $\bar{U_{R_{1}}}$ für beliebiges fixiertes $R_{1} < R$ gleichmäßig. Nach Einschränkung auf die reelle Achse folgt aus Satz 2.6.2 sofort, daß die Funktion $S (x)$ für $x \in] - R, R [$ reell differenzierbar ist und

\frac{d S (x)}{d x} = \frac{d}{d x} \sum_{k = 0}^{\infty} a_{k} x^{k} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{d}{d x} (a_{k} x^{k}) = \sum_{k = 1}^{\infty} k a_{k} x^{k - 1} = S_{1} (x)

für alle $x \in] - R, R [= U_{R} \cap ℝ$ gilt. Damit kann man in diesem Intervall die Potenzreihe $S (x) = \sum_{k = 0}^{\infty} a_{k} x^{k}$ gliedweise reell differenzieren.

Das gleiche Argument kann man nun auf die Potenzreihe $S_{1} (x) = S^{'} (x) = \sum_{k = 1}^{\infty} k a_{k} x^{k - 1}$ anwenden. Da sich dabei der Konvergenzradius nicht verändert, so läßt sich diese Prozedur beliebig oft wiederholen. Damit ist die Funktion $S (x)$ beliebig oft in $x \in] - R, R [$ differenzierbar und es gilt

\frac{d^{n} S (x)}{d x^{n}} = \sum_{k = n}^{\infty} a_{k} k (k - 1) (k - n + 1) x^{k - n}, x \in] - R, R [, n \in ℕ .

Die Potenzreihen der höheren Ableitungen besitzten dabei alle den gleichen Konvergenzradius $R$ .

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