Bei der Untersuchung der Differenzierbarkeit von Funktionenreihen haben wir uns der Einfachheit halber in Kapitel 2.6 auf reelle Differenzierbarkeit beschränkt und in den Beweisen auch Methoden der reellen Ableitungen eingesetzt5. Andererseits lassen sich die oben gesammelten Beobachtung zur reellen Differenzierbarkeit von Potenzreihen auch auf komplexe Differenzierbarkeit ausweiten:
SATZ 2.11.8. Die Potenzreihe besitze einen Konvergenzradius . Dann ist die Funktion in allen Punkten beliebig oft als Funktion einer komplexen Variablen differenzierbar und es gilt
(2.11.5.1) |
Es sei , , sowie . Dann gilt
und damit
(2.11.5.2) |
Da nach Lemma 2.11.7 die Potenzreihe auch den Konvergenzradius besitzt, so ist nach Korollar 2.11.4 die Reihe konvergent. Daraus folgt zusammen mit (2.11.5.2) nach dem Majorantenkriterium von Weierstrass, daß die Reihe
gleichmäßig bezüglich konvergiert. Nach Satz 2.3.3 folgt für dann
5Wo wurden für reelle Ableitung spezifische Aussagen benützt?