Funktionenreihen und Grenzwerte.

SATZ 2.3.3. Wir betrachten die Funktionenfolge $a_{k} : X \to K^{d}$ , so daß die Reihe

S (x) = \sum_{k = 1}^{\infty} a_{k} (x) gleichmäßig  bezüglich x \in X

konvergiert. Desweiteren existiere der Grenzwert

lim_{x \to x^{*}} a_{n} (x) = b_{n} für  beliebiges n \in ℕ .

Dann konvergiert die Reihe $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$ und es gilt

lim_{x \to x^{*}} S (x) = lim_{x \to x^{*}} \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} b_{n} = \sum_{n = 1}^{\infty} lim_{x \to x^{*}} a_{n} (x) .

Desweiteren konvergiert die Folge

{S_{n} (x)}_{n \in ℕ}

gleichmäßig bezüglich

x \in X

gegen

S (x)

. Nach Satz 2.3.1 folgt somit

\sum_{k = 1}^{\infty} b_{k} = lim_{n \to \infty} (lim_{x \to x^{*}} S_{n} (x)) = lim_{x \to x^{*}} (lim_{n \to \infty} S_{n} (x)) = lim_{x \to x^{*}} S (x) .