Die Stetigkeit der Grenzfunktion und die Vollstandigkeit von <mi >C</mi><mrow ><mo class="MathClass-open">(</mo><mrow><mi >X</mi><mo class="MathClass-punc">,</mo> <mi >K</mi></mrow><mo class="MathClass-close">)</mo></mrow>.

2.3.3. Die Stetigkeit der Grenzfunktion und die Vollständigkeit von $C (X, K)$ .

Im Punkt 2.15 des Skriptes zur Vorlesung Analysis 1 haben wir gezeigt, daß für kompakte Mengen $X \subset M_{1}$ die Menge $C (X, K)$ mit der Norm

∥ f ∥_{C} = max_{x \in X} | f (x) |

einen Banachraum bildet. Desweiteren haben wir dort auch gezeigt (vgl. auch mit Satz 2.1.2), daß gleichmäßige Konvergenz gleichbedeutend mit der Konvergenz in $C (X, K)$ bezüglich der Norm $∥ \cdot ∥_{C}$ ist. Dann kann man Satz 2.3.2 für Funktionenfolgen $f_{n} \in C (X, K)$ aus der Vollständigkeit von $C (X, K)$ herleiten:

Wegen Satz 2.1.2 bedeutet die gleichmäßige Konvergenz $f_{n} (x) \to φ (x)$ bezüglich $x \in X$ , daß

\forall_{ε > 0} \exists_{N (ε)} \forall_{n \geq N (ε)} sup_{x \in X} | f_{n} (x) - φ (x) | < ε

und damit

sup_{x \in X} | f_{n} (x) - f_{m} (x) | < 2 ε für n, m \geq N (ε) .

Nach dem Satz von Weierstrass gilt für die stetige Funktion $f_{n} - f_{m}$ bei $n, m \geq N (ε)$ damit

∥ f_{n} - f_{m} ∥_{C} = max_{x \in X} | f_{n} (x) - f_{m} (x) | = sup_{x \in X} | f_{n} (x) - f_{m} (x) | < 2 ε,

d.h. ${f_{n}}_{n \in ℕ} \in C F (C (X, K))$ . Damit existiert aufgrund der Vollständigkeit ein Grenzwert $ψ = lim_{n \to \infty} f_{n}$ im Banachraum $C (X, K)$ , d.h. $f_{n} (x)$ konvergiert für $n \to \infty$ gleichmäßig bezüglich $x \in X$ gegen $ψ (x)$ . Wegen der Eindeutigkeit des Grenzwertes $lim_{n \to \infty} f_{n} (x) = φ (x) = ψ (x)$ gilt damit

φ = ψ \in C (X, K) .

Es sei $(M, d)$ ein metrischer Raum, $X \subset M$ und $x^{*} \in acc (X) \cap X$ .

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2.3.3. Die Stetigkeit der Grenzfunktion und die Vollständigkeit von C(X, K).

2.3.3. Die Stetigkeit der Grenzfunktion und die Vollständigkeit von $C (X, K)$ .