Zur Stetigkeit der Grenzfunktion.

2.3.2. Zur Stetigkeit der Grenzfunktion.

Wir betrachten die metrischen Räume $(M_{1}, d_{1})$ und $(M_{2}, d_{2})$ und es sei $X \subset M_{1}$ . Der metrische Raum $M_{2}$ sei vollständig.

SATZ 2.3.2. Es sei $f_{n} : X \to M_{2}$ , $n \in ℕ$ , eine Funktionenfolge, so daß

lim_{n \to \infty} f_{n} (x) = φ (x) gleichmäßig  bezüglich x \in X

konvergiert. Ist für gegebenes $x^{*} \in X$ jede der Funktionen $f_{n}$ stetig im Punkt $x^{*}$ , dann ist auch die Funktion $φ$ stetig im Punkt $x^{*}$ .

$▸$ Da $φ (x)$ nach Definition in allen Punkten $x \in iso (X)$ automatisch stetig ist, genügt es Punkte $x^{*} \in acc (X) \cap X$ zu betrachten. Aus der Stetigkeit von $f_{n}$ folgt dann

lim_{x \to x^{*}} f_{n} (x) = f_{n} (x^{*}), n \in ℕ .

Nach Satz 2.3.1 gilt

\begin{array}{rcl} lim_{x \to x^{*}} φ (x) & = & lim_{x \to x^{*}} (lim_{n \to \infty} f_{n} (x)) \\ = & lim_{n \to \infty} (lim_{x \to x^{*}} f_{n} (x)) = lim_{n \to \infty} f_{n} (x^{*}) = φ (x^{*}) . \end{array}

Damit ist $φ$ im Punkt $x^{*}$ stetig. $◂$

Sind die Funktionen $f_{n}$ in allen Punkten $x \in X$ stetig, so gilt gleiches auch für die Funktion $φ$ .

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