Das Vertauschen der Grenzwerte <mi >l</mi><mi >i</mi><mi >m</mi><mi >n</mi><mo class="MathClass-rel">→</mo><mi >∞</mi> und <mi >l</mi><mi >i</mi><mi >m</mi><mi >x</mi><mo class="MathClass-rel">→</mo><mi >x</mi><mn>0</mn>.

2.3.1. Das Vertauschen der Grenzwerte $lim_{n \to \infty}$ und $lim_{x \to x_{0}}$ .

Wir betrachten die metrischen Räume $(M_{1}, d_{1})$ und $(M_{2}, d_{2})$ und es sei $X \subset M_{1}$ sowie $x^{*} \in acc (X) \cap X$ . Der metrische Raum $M_{2}$ sei vollständig.

SATZ 2.3.1. Es sei $f : ℕ \times X \to M_{2}$ eine Folge von Funktionen $f_{n} : X \to M_{2}$ , $n \in ℕ$ , so daß der Grenzwert

lim_{n \to \infty} f_{n} (x) = φ (x) gleichmäßig  bezüglich x \in X

angenommen wird. Desweiteren konvergiere

lim_{x \to x_{0}} f_{n} (x) = b_{n} für  alle n \in ℕ .

Dann existieren die beiden Grenzwerte $lim_{x \to x^{*}} φ (x)$ und $lim_{n \to \infty} b_{n}$ und es gilt

lim_{x \to x^{*}} (lim_{n \to \infty} f_{n} (x)) = lim_{x \to x^{*}} φ (x) = lim_{n \to \infty} b_{n} = lim_{n \to \infty} (lim_{x \to x^{*}} f_{n} (x)) .

$▸$ Es sei ${x_{n}}_{n \in ℕ}$ eine beliebige Folge von Gliedern $x_{n} \in X$ , $x_{n} \neq x^{*}$ , welche für $n \to \infty$ gegen $x^{*}$ konvergiert.3 Es sei $a_{n, p} = f_{n} (x_{p})$ mit $n, p \in ℕ$ . Dann konvergiert

lim_{n \to \infty} a_{n, p} = φ (x_{p}) sowie lim_{p \to \infty} a_{n, p} = lim_{p \to \infty} f_{n} (x_{p}) = lim_{x \to x^{*}} f_{n} (x) = b_{n},

wobei der erste dieser beiden Grenzwerte nach der Voraussetzung des Satzes gleichmäßig bezüglich $p \in ℕ$ angenommen wird. Nach Satz 2.2.2 konvergieren damit die Grenzwerte

lim_{p \to \infty} φ (x_{p}) = lim_{n \to \infty} b_{n} .

Da die rechte Seite in dieser Identität nicht von der konkreten Wahl der Folge ${x_{n}}_{n \in ℕ} \to x^{*}$ , abhängt, so gilt nach der Folgendefinition der Konvergenz auch

lim_{x \to x^{*}} φ (x) = lim_{n \to \infty} b_{n} .

$◂$

3Da $x^{*} \in acc (X)$ , so existiert mindestens eine solche Folge.

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2.3.1. Das Vertauschen der Grenzwerte lim n→∞ und lim x→x0.

2.3.1. Das Vertauschen der Grenzwerte $lim_{n \to \infty}$ und $lim_{x \to x_{0}}$ .