Die Taylorreihe.

2.11.6. Die Taylorreihe.

Es sei $f :] - R, R [\to ℂ$ , $R > 0$ , eine im Punkt $x_{0} = 0$ beliebig oft reell differenzierbare Funktion. Die Taylorsche Formel bezüglich des Punktes $x_{0} = 0$ sagt aus, daß

f (x) = T_{n} (x) + r_{n} (0; x) mit T_{n} (x) = \sum_{k = 0}^{n} \frac{f^{(k)} (0)}{k!} x^{k}, r_{n} (0; x) \overset{x \to 0}{=} o (x^{n}) .

(2.11.6.1)

Dies erlaubt eine Approximation von $f$ bis auf eine beliebig vorgegebene Ordnung $o (x^{n})$ durch ein Polynom $T_{n} (x)$ für $x \to 0$ . Auf der anderen Seite bedeutet dies aber nicht, daß die Partialsummen $T_{n} (x)$ auch nur für ein bestimmtes fixiertes $x \neq 0$ konvergieren muß.

Betrachten wir die sogenannte Taylorreihe

t (x) = lim_{n \to \infty} T_{n} (x) = \sum_{k = 0}^{\infty} a_{k} x^{k}, a_{k} = \frac{f^{(k)} (0)}{k!},

genauer. Besitzt diese Potenzreihe einen positiven Konvergenzradius $R > 0$ , so konvergiert diese Reihe $t (z) = \sum_{k = 0}^{\infty} a_{k} z^{k}$ für alle komplexen $z$ mit $| z | < R$ . Dann ist die Funktion $t (z)$ nach Satz 2.11.5.1 insbesondere beliebig oft im Punkt $z_{0} = 0$ komplex differenzierbar. Formel (2.11.5.1) gibt dann

\frac{t^{(n)} (0)}{n!} = a_{n} = \frac{f^{(n)} (0)}{n!}, n \in ℕ .

Damit stimmen die Taylorkoeffizienten der Funktion $t (z)$ im Punkt $0$ mit denen der Funktion $f (x)$ im Punkt $0$ überein; beide Funktionen besitzen bezüglich des Punktes $x_{0} = 0$ ein und dieselbe Taylorentwicklung.

Wir unterstreichen, das letzteres nicht notwendigerweise bedeutet, daß die Funktionen $t$ und $f$ auf ihrem gemeinsamen Definitionsbereich übereinstimmen. Als Beispiel betrachte man die Funktion

f (x) = e^{- \frac{1}{x^{2}}} für x \in ℝ \ {0} und f (0) = 0 .

Man verifiziert leicht, daß $f$ im Punkt $x = 0$ beliebig oft reell differenzierbar ist und dabei

f^{(n)} (0) = 0, n \in ℕ,

gilt. Damit ergibt sich die entsprechende Taylorreihe $t (z) = 0$ für alle $z \in ℂ$ , was für reelle Argumente offensichtlich nicht mit der Funktion $f$ übereinstimmt.

Aus (2.11.6.1) sieht man hingegen, daß

f (x) = lim_{n \to \infty} T_{n} (x) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{f^{(k)} (0)}{k!} x^{k}

genau dann gilt, wenn $r_{n} (x) \to 0$ für $n \to \infty$ . In diesem Fall sagt man, daß sich die Funktion $f$ im Punkt $x$ durch seine Taylorreihe (bezüglich $x_{0} = 0$ ) darstellen läßt. Der nächste Satz liefert ein Kriterium für diese Eigenschaft:

SATZ 2.11.9. Es sei $R$ eine positive Zahl, so daß zum einen die Funktion $f : [- R, R] \to ℂ$ beliebig oft differenzierbar ist und außerdem eine endliche Konstante $C$ existiert, so daß

| f (x) | + | f^{(k)} (x) | \leq C für  alle k \in ℕ, x \in] - R, R [.

Dann ist $f (x)$ für $x \in] - R, R [$ durch seine Taylorreihe bezüglich $x_{0} = 0$ darstellbar.

$▸$ Als erstes stellen wir fest, das die Potenzreihe

t (x) = \sum_{k = 0}^{\infty} a_{k} x^{k} mit a_{k} = \frac{f^{(k)} (0)}{k!}

wegen $| a_{k} | \leq C ∕ k!$ den Konvergenzradius $R = + \infty$ besitzt. Insbesondere konvergiert diese Reihe für alle $x \in ℝ$ . Zur Abschätzung des Restgliedes verwenden wir die Formel

r_{n} (x_{0}; h) = \frac{h^{n + 1}}{n!} \int_{0}^{1} f^{(n + 1)} (x + t h) {(1 - t)}^{n} d t, h = x - x_{0} .

Für $x_{0} = 0$ und $h = x$ folgt

| r_{n} (0; x) | \leq \frac{C | x |^{n + 1}}{n!} \int_{0}^{1} {(1 - t)}^{n} d t \leq \frac{C R^{n + 1}}{(n + 1)!}

und damit

| r_{n} (0; x) | \to 0 für n \to \infty .

$◂$

Ist eine Funktion in einer gewissen Umgebung von $x_{0} = 0$ durch ihre Taylorreihe darstellbar, so konvergiert nach der allgemeinen Theorie der Potenzreihen die Taylorreihe im Inneren des Konvergenzkreises mit dem Konvergenzradius $R$ absolut, in jedem $\bar{U_{R_{1}}}$ mit $R_{1} < R$ gleichmäßig und die Reihe ist in $U_{R}$ beliebig oft gliedweise komplex differenzierbar.

Man kann die oben gegebenen Betrachtungen sofort auf Taylorreihen

t (z) = \sum_{k = 0}^{\infty} a_{k} {(z - z_{0})}^{k}, a_{k} = \frac{f^{(k)} (z_{0})}{k!},

bezüglich eines Punktes $z_{0} \in ℂ$ verallgemeinern. Gilt $f (z) = t (z)$ für $z \in U_{ε} (z_{0})$ , $ε > 0$ , so sagt man, daß die Funktion $f$ in der Umgebung $U_{ε} (z_{0})$ von $z_{0}$ durch ihre Taylorreihe darstellbar ist.

Zum Abschluß geben wir noch folgende Definitionen:

DEfiNITION 2.11.10. Es sei $V$ eine offene Teilmenge in $ℂ$ . Wir nennen $V$ zusammenhängend, wenn zu beliebigen $z_{1}, z_{2} \in V$ eine Jordansche Kurve endlicher Länge $Γ \subset V$ existiert, welche $z_{1}$ und $z_{2}$ verbindet.

DEfiNITION 2.11.11. Es sei $V$ eine offene, zusammenhängende Teilmenge von $ℂ$ . Ist eine Funktion $f : V \to ℂ$ in einer gewissen Umgebung $U_{ε} (z_{0})$ , $ε = ε (z_{0}) > 0$ , jedes beliebigen Punktes $z_{0} \in V$ durch ihre Taylorreihe darstellbar, so nennt man $f$ eine analytische Funktion in $V$ .

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