Die Differentation von Funktionenreihen.

SATZ 2.6.2. Wir betrachten eine Folge von Funktionen $f_{n} \in C^{1} ([a, b], K^{d})$ , $n \in ℕ$ , so daß zum einen die Funktionenreihe

S (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} f_{n} (x) für  alle x \in [a, b]

existiert und desweiteren die Reihe der Ableitungen

T (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} f_{n}^{'} (x) gleichmäßig  bezüglich x \in [a, b]

konvergiert. Dann gilt $S \in C^{1} ([a, b], K^{d})$ und

S^{'} (x) = \frac{d}{d x} \sum_{n = 1}^{\infty} f_{n} (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{d f_{n} (x)}{d x} = T (x) für x \in [a, b] .