Das Vertauschen von Ableitung und <mi >l</mi><mi >i</mi><mi >m</mi><mi >y</mi><mo class="MathClass-rel">→</mo><mi >y</mi><mo class="MathClass-bin">∗</mo>.

Für eine Parametermenge

Y

betrachten wir eine Abbildung

f : [a, b] \times Y \to K^{d}

. Für beliebiges aber fixiertes

y \in Y

sei

Ist für dieses

y \in Y

die Funktion

g_{y} (\cdot)

in einem Punkt

x \in] a, b [

differenzierbar, so ist

f

im Punkt

(x, y)

partiell nach

x

differenzierbar und wir bestimmen diese partielle Ableitung

\frac{\partial f}{\partial x}

als

Mit anderen Worten wird die partielle Ableitung nach

x

berechnet, indem man zunächst alle andere Variablen bzw. Parameter außer

x

einfriert und die verbleibende Abbildung einer Variablen

x

wie gewöhnlich differenziert.

Im weiteren sei

(M, d)

ein metrischer Raum,

Y \subset M

sowie

y^{*} \in acc (Y) \cap Y

SATZ 2.6.4. Wir betrachten eine Abbildung $f : [a, b] \times Y \to K^{d}$ , so daß

f (\cdot, y) \in C^{1} ([a, b], K^{d}) für  alle y \in Y .

Desweiteren existieren die Grenzwerte

\begin{array}{rcl} lim_{y \to y^{*}} f (x, y) = φ (x) & für  alle & x \in [a, b], \\ lim_{y \to y^{*}} \frac{\partial f (x, y)}{\partial x} = ψ (x) & gleichmäßig  bezüglich & x \in [a, b] . \end{array}

Dann gilt $φ \in C^{1} ([a, b], K^{d})$ und

φ^{'} (x) = \frac{d}{d x} (lim_{y \to y^{*}} f (x, y)) = lim_{y \to y^{*}} \frac{\partial f (x, y)}{\partial x} = ψ (x), x \in [a, b] .

AUFGABE 2.6.5. Beweisen Sie den obigen Satz. Betrachten Sie dazu eine Folge ${y_{k}}_{k \in ℕ}$ von Gliedern $y_{k} \in Y$ , $y_{k} \neq y^{*}$ , $k \in ℕ$ und die Funktionenfolge $a_{k} (x) = f (x, y_{k})$ und wenden Sie Satz 2.6.1 an!

2.6.3. Das Vertauschen von Ableitung und lim y→y∗.

2.6.3. Das Vertauschen von Ableitung und $lim_{y \to y^{*}}$ .