Die Differentation von Grenzfunktionen einer Funktionenfolge.

2.6.1. Die Differentation von Grenzfunktionen einer Funktionenfolge.

Wir erinnern, daß $C^{1} ([a, b], K^{d})$ für die Menge der in $] a, b [$ stetig differenzierbaren Funktionen steht, die sich zusammen mit ihrer Ableitung stetig auf $[a, b]$ fortsetzen lassen. Wir betrachten deshalb diese Ableitungen als stetige Funktion auf dem abgeschlossenen Intervall $[a, b]$ .

SATZ 2.6.1. Wir betrachten eine Funktionenfolge $f_{n} \in C^{1} ([a, b], K^{d})$ , $n \in ℕ$ , so daß zum einen der Grenzwert

lim_{n \to \infty} f_{n} (x) = f (x) für  alle x \in [a, b]

existiert und desweiteren der Grenzwert

lim_{n \to \infty} f_{n}^{'} (x) = φ (x) gleichmäßig  bezüglich x \in [a, b]

angenommen wird. Dann gilt $f \in C^{1} ([a, b], K^{d})$ und

f^{'} (x) = \frac{d}{d x} (lim_{n \to \infty} f_{n} (x)) = lim_{n \to \infty} \frac{d f_{n} (x)}{d x} = φ (x) für x \in [a, b] .

$▸$ Die Funktionen $f_{n}^{'}$ sind stetig und besitzt nach Satz 4.6.3. des Skriptes zur Analysis I eine Stammfunktion, d.h.

f_{n} (x) = f_{n} (a) + \int_{a}^{x} f_{n}^{'} (\tilde{x}) d \tilde{x} .

Geht man hier unter Anwendung von Satz 2.5.1 zum Grenzwert $n \to \infty$ über, so gilt

\begin{array}{rcl} f (x) & = & lim_{n \to \infty} f_{n} (x) = lim_{n \to \infty} f_{n} (a) + lim_{n \to \infty} \int_{a}^{x} f_{n}^{'} (\tilde{x}) d \tilde{x} \\ = & f (a) + \int_{a}^{x} lim_{n \to \infty} f_{n}^{'} (\tilde{x}) d \tilde{x} = f (a) + \int_{a}^{x} φ (\tilde{x}) d \tilde{x} . & (2.6.1.1) \end{array}

Nach Satz 2.3.2 ist $φ$ als gleichmäßiger Grenzwert der stetigen Funktionen $f_{n}^{'}$ selbst stetig und besitzt damit eine Stammfunktion, welche nach Formel (2.6.1.1) mit $f$ übereinstimmt. Also gilt $f^{'} (x) = φ (x)$ für $x \in] a, b [$ und wegen der Eindeutigkeit der stetigen Fortsetzung auch in den Randpunkten des Intervalles. $◂$

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