Zur Integration von Grenzfunktionen von Funktionenfolgen.

2.5.1. Zur Integration von Grenzfunktionen von Funktionenfolgen.

SATZ 2.5.1. Es sei $f_{n} \in R [a, b]$ , $n \in ℕ$ , eine Folge reellwertiger und auf dem endlichen Intervall $[a, b] \subset ℝ$ Riemann-integrierbarer Funktionen. Der Grenzwert

lim_{n \to \infty} f_{n} (x) = f (x) werde  gleichmäßig  bezüglich x \in [a, b]

angenommen. Dann gilt $f \in R [a, b]$ und es existiert der Grenzwert

lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b} f_{n} (x) d x = \int_{a}^{b} f (x) d x .

(2.5.1.1)

$▸$ Nach dem Satz von Lebesgue (Satz 4.1.15 des Skriptes Analysis I) ist jede der Funktionen $f_{n}$ fast überall stetig, d.h. für jedes $n \in ℕ$ existiert eine Menge $E_{n} \subset [a, b]$ , so daß zum einen $f_{n}$ auf $[a, b] \ E_{n}$ stetig ist und zum anderen für jedes $ε > 0$ eine abzählbare Menge von Intervallen $I_{n, ε}^{k} \subset [a, b]$ existiert, so daß

E_{n} \subset ⋃_{k \in ℕ} I_{n, ε}^{k}, \sum_{k = 1}^{\infty} | I_{n, ε}^{k} | < 2^{- n} ε .

Wir setzen $E = ⋃_{n \in ℕ} E_{n}$ . Dann sind alle Funktionen $f_{n}$ gemeinsam auf $[a, b] \ E$ stetig. Aufgrund der gleichmäßigen Konvergenz und Satz 2.3.2 ist damit auch $f$ auf $[a, b] \ E$ stetig. Für jedes $ε > 0$ gilt

E \subset ⋃_{(k, n) \in ℕ \times ℕ} I_{n, ε}^{k} und

und nach Anwendung von Satz 1.3.12 folgt

\begin{array}{rcl} \sum_{(k, n) \in ℕ \times ℕ} | I_{n, ε}^{k} | & = & \sum_{n = 1}^{\infty} (\sum_{k = 1}^{\infty} | I_{n, ε}^{k} |) \\ \leq & \sum_{k = 1}^{\infty} 2^{- n} ε = ε . \end{array}

Damit ist $f$ fast überall stetig und nach dem Satz von Lebesgue gilt somit auch $f \in R [a, b]$ .

Dann folgt

\begin{array}{rcl} |\int_{a}^{b} f (x) d x - \int_{a}^{b} f_{n} (x) d x| & \leq & \int_{a}^{b} | f (x) - f_{n} (x) | d x \\ \leq & (b - a) sup_{x \in [a, b]} | f (x) - f_{n} (x) | . \end{array}

Wegen der gleichmäßigen Konvergenz von $f_{n} (x)$ gegen $f (x)$ folgt nach Satz 2.1.2

sup_{x \in [a, b]} | f (x) - f_{n} (x) | \to 0 für n \to \infty,

und damit auch (2.5.1.1). $◂$

AUFGABE 2.5.2. Erweitern Sie den obigen Satz auf Funktionen mit Werten in $K^{d}$ !

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