Zur Integration von Funktionenreihen.

SATZ 2.5.3. Es sei $f_{n} : [a, b] \to K^{d}$ , $n \in ℕ$ , eine Folge auf dem endlichen Intervall $[a, b] \subset ℝ$ Riemann-integrierbarer Funktionen, so daß die Funktionenreihe

S (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} f_{n} (x) gleichmäßig  bezüglich x \in [a, b]

konvergiert. Dann ist $S : [a, b] \to K^{d}$ auf $[a, b]$ Riemann-integrierbar, die Reihe $\sum_{n = 1}^{\infty} \int_{a}^{b} f_{n} (x) d x$ konvergiert und es gilt

\int_{a}^{b} S (x) d x = \int_{a}^{b} (\sum_{n = 1}^{\infty} f_{n} (x)) d x = \sum_{n = 1}^{\infty} \int_{a}^{b} f_{n} (x) d x .

AUFGABE 2.5.4. Beweisen Sie diese Aussage, indem Sie Satz 2.5.1 auf die Folge der Partialsummen $S_{n} (x) = \sum_{k = 1}^{n} f_{k} (x)$ anwenden.

2.5.2. Zur Integration von Funktionenreihen.