Zum Vertauschen des Integralzeichens mit dem Grenzwert <mi >l</mi><mi >i</mi><mi >m</mi><mi >x</mi><mo class="MathClass-rel">→</mo><mi >x</mi><mo class="MathClass-bin">∗</mo>.

2.5.3. Zum Vertauschen des Integralzeichens mit dem Grenzwert $lim_{x \to x^{*}}$ .

Es sei $(M, d)$ ein metrischer Raum, $X \subset M$ und $x^{*} \in acc (X) \cap X$ .

SATZ 2.5.5. Es sei $f : X \times [a, b] \to K^{d}$ eine Abbildung, so daß für jedes $x \in X$ die Abbildung $f (x, \cdot) : [a, b] \to K^{d}$ auf $[a, b]$ Riemann-integrierbar ist. Desweiteren werde der Grenzwert

lim_{x \to x^{*}} f (x, y) = φ (y) gleichmäßig  bezüglich y \in [a, b]

angenommen. Dann ist $φ$ auf $[a, b]$ Riemann-integrierbar und es existiert der Grenzwert

lim_{x \to x^{*}} \int_{a}^{b} f (x, y) d y = \int_{a}^{b} φ (y) d y = \int_{a}^{b} lim_{x \to x^{*}} f (x, y) d y .

$▸$ Es sei ${x_{k}}_{k \in ℕ}$ eine Folge von Gliedern $x_{k} \in X$ , $x_{k} \neq x^{*}$ , mit der Eigenschaft $x_{k} \to x^{*}$ für $k \to \infty$ . Wir setzen

a_{k} (y) = f (x_{k}, y), k \in ℕ, y \in [a, b] .

Nach Aufgabe 2.1.4 konvergiert $a_{k} (y)$ gleichmäßig bezüglich $y \in [a, b]$ gegen $φ (y)$ . Wir setzen

J (x) = \int_{a}^{b} f (x, y) d x, J (x_{k}) = \int_{a}^{b} f (x_{k}, y) d y = \int_{a}^{b} a_{k} (y) d y .

Nach Satz 2.5.1 gilt

lim_{k \to \infty} J (x_{k}) = lim_{k \to \infty} \int_{a}^{b} a_{k} (y) d y = \int_{a}^{b} lim_{k \to \infty} a_{k} (y) d y = \int_{a}^{b} φ (y) d y .

Da die rechte Seite nicht von der konkreten Wahl der Folge $x_{k} \to x^{*}$ abhängt, so folgt

lim_{x \to x^{*}} J (x) = lim_{x \to x^{*}} \int_{a}^{b} f (x, y) d y = \int_{a}^{b} φ (y) d y .

$◂$

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2.5.3. Zum Vertauschen des Integralzeichens mit dem Grenzwert lim x→x∗.

2.5.3. Zum Vertauschen des Integralzeichens mit dem Grenzwert $lim_{x \to x^{*}}$ .