Das kartesische Produkt metrischer Raume.

2.5.4. Das kartesische Produkt metrischer Räume.

Es seien $(M_{1}, d_{1})$ und $(M_{2}, d_{2})$ metrische Räume. Auf dem kartesischen Produkt

M = M_{1} \times M_{2} = {(m_{1}, m_{2}) | m_{1} \in M_{1}, m \in M_{2}}

definieren wir die Funktion

d ((m_{1}^{'}, m_{2}^{'}), (m_{1}^{″}, m_{2}^{″})) = d_{1} (m_{1}^{'}, m_{1}^{″}) + d_{2} (m_{2}^{'}, m_{2}^{″})

für $m_{1}^{'}, m_{1}^{″} \in M_{1}$ und $m_{2}^{'}, m_{2}^{″} \in M_{2}$ .

AUFGABE 2.5.6. Beweisen Sie, daß $(M, d)$ ein metrischer Raum ist.

SATZ 2.5.7. Es seien $X \subset M_{1}$ und $Y \subset M_{2}$ kompakte Mengen im jeweiligen metrischen Raum. Dann ist die Menge $X \times Y$ kompakt im metrischen Raum $M = M_{1} \times M_{2}$ .

$▸$ Es sei ${(x_{k}, y_{k})}_{k \in ℕ}$ eine Folge aus $X \times Y$ . Da $X$ kompakt ist, so existiert eine Teilfolge ${x_{k_{j}}}_{j \in ℕ}$ aus ${x_{k}}_{k \in ℕ}$ welche gegen ein Element $x^{*} = lim_{j \to \infty} x_{k_{j}} \in X$ konvergiert. Desweiteren kann man wegen der Kompaktheit von $Y$ aus ${y_{k_{j}}}_{j \in ℕ}$ eine Teilfolge ${y_{k_{j_{l}}}}_{l \in ℕ}$ auswählen, welche gegen $y^{*} = lim_{l \to \infty} y_{k_{j_{l}}} \in Y$ konvergiert. Da dann ${x_{k_{j_{l}}}}_{l \in ℕ}$ wiederum eine Teilfolge von ${x_{k_{j}}}_{j \in ℕ}$ ist, so gilt auch $x^{*} = lim_{l \to \infty} x_{k_{j_{l}}}$ . Wegen

lim_{l \to \infty} d ((x_{k_{j_{l}}}, y_{k_{j_{l}}}), (x^{*}, y^{*})) = lim_{l \to \infty} d_{1} (x_{k_{j_{l}}}, x^{*}) + lim_{l \to \infty} d_{2} (y_{k_{j_{l}}}, y^{*}) = 0

konvergiert damit die Teilfolge ${(x_{k_{j_{l}}}, y_{k_{j_{l}}})}_{l \in ℕ}$ von ${(x_{k}, y_{k})}_{k \in ℕ}$ in $M = M_{1} \times M_{2}$ gegen $(x^{*}, y^{*}) \in X \times Y$ . Also ist $X \times Y$ kompakt. $◂$

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