Zur Stetigkeit von parameterabhangigen Integralen.

2.5.5. Zur Stetigkeit von parameterabhängigen Integralen.

SATZ 2.5.8. Es sei $(M_{1}, d_{1})$ ein metrischer Raum und $X$ sei eine kompakte Teilmenge von $M_{1}$ . Desweiteren sei $[a, b]$ ein endliches Teilintervall von $ℝ$ . Wir betrachten eine Funktion $f \in C (X \times [a, b], K^{d})$ und das parameterabhängige Integral

J (x) = \int_{a}^{b} f (x, y) d y .

Dann ist $J : X \to K^{d}$ eine stetige Funktion.

$▸$ Die Menge $X \times [a, b]$ ist nach Satz 2.5.7 in $M = M_{1} \times ℝ$ kompakt. Nach dem Satz von Cantor ist die Funktion $f \in C (X \times [a, b], K^{d})$ gleichmäßig stetig, d.h.

\forall_{ε > 0} \exists_{δ (ε) > 0} \forall_{(x, y) \in X \times [a, b]} \forall_{(x^{'}, y^{'}) \in U_{δ} (x, y)} f (x^{'}, y^{'}) \in U_{ε} (f (x, y)) .

Damit wird für jedes $x^{*} \in acc (X) \cap X$ der Grenzwert

φ_{x^{*}} (y) = lim_{x \to x^{*}} f (x, y) gleichmäßig  bezüglich y \in [a, b]

angenommen. Da für jedes $x \in X$ ist die Funktion $f (x, \cdot) : [a, b] \to K^{d}$ stetig in $y \in [a, b]$ . Nach Satz 2.5.5 und der Stetigkeit von $f (x, y)$ gilt

\begin{array}{rcl} lim_{x \to x^{*}} J (x) & = & lim_{x \to x^{*}} \int_{a}^{b} f (x, y) d y = \int_{a}^{b} lim_{x \to x^{*}} f (x, y) d y \\ = & \int_{a}^{b} f (x^{*}, y) d y = J (x^{*}) . \end{array}

Also ist die Funktion $J$ stetig. $◂$

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