Die Betafunktion.

2.12.1. Die Betafunktion.

Für $a, b > 0$ ist die Betafunktion gegeben durch die Formel

B (a, b) : = \int_{0}^{1} x^{a - 1} {(1 - x)}^{b - 1} d x .

(2.12.1.1)

Für $a \geq 1$ und $b \geq 1$ ist der Integrand eine beschränkte Funktion und das obige Integral existiert im eigentlichen Sinn als Riemann-Integral. Für $0 < a < 1$ oder $0 < b < 1$ handelt es sich bei (2.12.1.1) um ein konvergentes uneigentliches Integral. Tatsächlich, es gilt

\begin{array}{rcl} x^{a - 1} {(1 - x)}^{b - 1} \leq 2^{b - 1} x^{a - 1} & für & 0 \leq x \leq \frac{1}{2}, \\ x^{a - 1} {(1 - x)}^{b - 1} \leq 2^{a - 1} {(1 - x)}^{b - 1} & für & \frac{1}{2} \leq x \leq 1 . \end{array}

Die uneigentlichen Integrale

\int_{0}^{1 ∕ 2} x^{a - 1} d x und \int_{1 ∕ 2}^{1} {(1 - x)}^{b - 1} d x

konvergieren für $a, b > 0$ und damit konvergiert nach dem Vergleichskriterium auch (2.12.1.1).

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