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2.12.2. Wichtige Eigenschaften der Betafunktion.

(I) Die Betafunktion ist symmetrisch in den beiden Argumenten:

B(b,a) = ∫ 01xb−1(1 − x)a−1dx (t = x − 1) = −∫ 10(1 − t)b−1ta−1dt = B(a,b). (2.12.2.1)

(II) Es sei b > 1. Dann gilt

B(a,b) = ∫ 01(1 − x)b−11 a d(xa) dx dx = a−1xa(1 − x)b−1 01 + b − 1 a ∫ 01(1 − x)b−2xadx.

Der erste Term auf der rechten Seite dieser Identität verschwindet. Setzt man in das Integral die Gleichung xa = xa−1 − xa−1(1 − x) ein, so erhält man

B(a,b) = b − 1 a ∫ 01xa−1(1 − x)b−2dx −b − 1 a ∫ 01xa−1(1 − x)b−1dx = b − 1 a B(a,b − 1) −b − 1 a B(a,b).

Es folgt, daß

B(a,b) = b − 1 a + b − 1B(a,b − 1),b > 1,a > 0, (2.12.2.2)

und wegen der Symmetrie auch

B(a,b) = a − 1 a + b − 1B(a − 1,b),a > 1,b > 0. (2.12.2.3)

(III) Substituiert man x = y 1+y in (2.12.1.1), so erhält man

B(a,b) = ∫ 0∞ ya−1 (1 + y)a−1 1 (1 + y)b−1 dy (1 + y)2 = ∫ 0∞ ya−1dy (1 + y)a+b.

Für b = 1 − a und 0 < a < 1 ergibt dies die Formel

B(a, 1 − a) = ∫ 0∞ ya−1 (1 + y)dy = π sin aπ. (2.12.2.4)

AUFGABE 2.12.1. Wir haben in diesem Punkt für gegebenenfalls uneigentliche Integrale bei der Substitution von Variablen und beim partiellen Integrieren formal genauso gerechnet wie mit eigentlichen Riemann-Integralen. Die Korrektheit dieses Vorgehens muß im einzelnen nachgeprüft werden. So muß z.B. die Rechnung für (2.12.2.1) im Fall 0 < a,b < 1 detailiert wiefolgt aussehen

B(b,a) = ∫ 01xb−1(1 − x)a−1dx = lim ε1→0 ∫ ε11∕2xb−1(1 − x)a−1dx + lim ε2→0 ∫ 1∕21−ε2 xb−1(1 − x)a−1dx = − lim ε1→0 ∫ 1−ε11∕2(1 − t)b−1ta−1dt − lim ε2→0 ∫ 1∕2ε2 (1 − t)b−1ta−1dt = −∫ 10(1 − t)b−1ta−1dt = B(a,b).

Verifizieren Sie auf gleichem Wege alle Rechnungen dieses und der folgenden Abschnitte, insbesondere die partiellen Integrationen, detailiert auf Korrektheit unter Berücksichtung der uneigentlichen Integrale!

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