Die Gammafunktion.

2.12.3. Die Gammafunktion.

Für $a > 0$ setzt man

Γ (a) : = \int_{0}^{\infty} x^{a - 1} e^{- x} d x .

(2.12.3.1)

Für $0 < a < 1$ ist dies ein uneigentliches Integral an beiden Integrationsgrenzen, für $a \geq 1$ ist dies in der Umgebung von $0$ ein eigentliches Integral.

AUFGABE 2.12.2. : Zeigen Sie, daß für alle $a > 0$ das uneigentliche Integral (2.12.3.1) konvergiert.

Wir untersuchen nun die Eigenschaften der Gammafunktion.

(I) Für alle $a > 0$ ist die Funktion $Γ (a)$ beliebig oft differenzierbar. Tatsächlich, wir betrachten einen Punkt $a > 0$ . Dann läßt sich die Funktion

f_{1} (x, a) = \frac{\partial}{\partial a} (x^{a - 1} e^{- x}) = x^{a - 1} ln x e^{- x}

für $a \in [a_{1}, a_{2}]$ mit fixierten $0 < a_{1} < a_{2} < \infty$ durch

| f_{1} (x, a) | \leq (x^{a_{1} - 1} + x^{a_{2} - 1}) | ln x | e^{- x} = g (x), x > 0,

abschätzen. Da das uneigentliche Integral $\int_{0}^{\infty} g (x) d x$ konvergiert6, so konvergiert nach dem Majorantenkriterium von Weierstrass das uneigentliche Integral

\int_{0}^{\infty} x^{a - 1} ln x e^{- x} d x gleichmäßig  bezüglich a \in [a_{1}, a_{2}] .

Damit ist Satz 2.9.6 anwendbar und es gilt

\frac{d Γ (a)}{d a} = \int_{0}^{\infty} x^{a - 1} ln x e^{- x} d x, a > 0 .

Analog kann man auch die höhere Ableitungen berechnen7.

(II) Wir zeigen, daß

Γ (a - 1) = a Γ (a), a > 0 .

(2.12.3.2)

Tatsächlich, durch partielle Integration folgt

a Γ (a) = a \int_{0}^{\infty} x^{a - 1} e^{- x} d x = {x^{a} e^{- x}|}_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} x^{a} e^{- x} d x = Γ (a + 1) .

Wendet man diese Formel wiederholt an, so ergibt sich

Γ (a + n) = (a + n - 1) (a + n - 2) \dots (a + 1) a Γ (a), a > 0, n \in ℕ .

(2.12.3.3)

Weiterhin gilt

Γ (1) = \int_{0}^{\infty} e^{- x} d x = {- e^{- x}|}_{0}^{\infty} = 1 .

Daraus folgt

Γ (n + 1) = n (n - 1) \dots 1 \cdot 1 = n!, n \in ℕ .

Damit kann man die Gammafunktion als Verallgemeinerung der Fakultät betrachten.

(III) Man sieht leicht, daß

lim_{a \to 0} Γ (a) = lim_{a \to + \infty} Γ (a) = + \infty .

6Beweisen Sie dies!

7Geben sie die Formel für $Γ^{(n)} (a)$ an!

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