Parameterabhangige uneigentliche Integrale. Differenzierbarkeit bezuglich des Parameters.

SATZ 2.9.6. Die Funktion $f \in C ([a, b] \times [0, + \infty [, ℝ)$ sei in allen Punkten $(x, y) \in] a, b [\times [0, + \infty [$ partiell nach $x$ differenzierbar und $\frac{\partial f}{\partial x}$ stetig auf $[a, b] \times [0, + \infty [$ fortsetzbar. Für alle $x \in [a, b]$ konvergiere das uneigentliche Integral

J (x) = \int_{0}^{\infty} f (x, y) d y

und desweiteren konvergiere das uneigentliche Integral

\int_{0}^{\infty} \frac{\partial f (x, y)}{\partial x} d y gleichmäßig  bezüglich x \in [a, b] .

Dann ist $J (x)$ in $] a, b [$ differenzierbar und es gilt

J^{'} (x) = \int_{0}^{\infty} \frac{\partial f (x, y)}{\partial x} d y, x \in] a, b [.

Es sei

R_{k}

eine Folge positiver Zahlen mit der Eigenschaft

R_{k} \to \infty

für

k \to \infty

. Wir setzen

Dann konvergiert

J (x) = lim_{k \to \infty} f_{k} (x) = lim_{k \to \infty} J_{R_{k}} (x)

und

\int_{0}^{\infty} \frac{\partial f (x, y)}{\partial x} d y = lim_{k \to \infty} \frac{d J_{R_{k}} (x)}{d x} = \frac{d}{d x} lim_{k \to \infty} J_{R_{k}} (x) = \frac{d J (x)}{d x}, x \in] a, b [.

2.9.4. Parameterabhängige uneigentliche Integrale. Differenzierbarkeit bezüglich des Parameters.