Zur Differentation parameterabhangiger Integrale.

2.7.1. Zur Differentation parameterabhängiger Integrale.

Es sei $Ω = [a, b] \times [c, d]$ . Wir betrachten eine Funktion $f : Ω \to K^{d}$ und setzen

J (x) = \int_{c}^{d} f (x, y) d y, x \in [a, b] .

Wir wollen untersuchen, unterwelchen Bedingungen die Funktion $J : [a, b] \to K^{d}$ differenzierbar ist.

SATZ 2.7.1. Für jedes $x \in [a, b]$ sei $f (x, \cdot) \in C ([c, d], K^{d})$ . Ist die Funktion $f$ in jedem Punkt $(x, y) \in] a, b [\times [c, d]$ partiell nach $x$ differenzierbar, ist $\frac{\partial f}{\partial x}$ auf $] a, b [\times [c, d]$ als Funktion zweier Variablen stetig und läßt sich als solche stetig auf $[a, b] \times [c, d]$ fortsetzen, so gilt $J \in C^{1} ([a, b], K^{d})$ und

\frac{d J (x)}{d x} = \int_{c}^{d} \frac{\partial f (x, y)}{\partial x} d y, x \in [a, b] .

$▸$ Schritt 1: Wir betrachten zunächst reellwertige Funktionen. Wegen $f (x, \cdot) \in C ([c, d], ℝ)$ ist das Integral

J (x) = \int_{c}^{d} f (x, y) d y

für alle $x \in [a, b]$ wohldefiniert. Für $x \in] a, b [$ und genügend kleine $| h | > 0$ mit $x + h \in [a, b]$ gilt

\frac{J (x + h) - J (x)}{h} = \int_{c}^{d} \frac{f (x + h, y) - f (x, y)}{h} d y .

(2.7.1.1)

Schritt 2: Wir zeigen nun, daß unter den Voraussetzungen des Satzes für fixiertes $x = x^{*} \in] a, b [$ der Grenzwert

\frac{\partial f (x^{*}, y)}{\partial x} = lim_{h \to 0} \frac{f (x^{*} + h, y) - f (x^{*}, y)}{h} gleichm.  bezgl. y \in [c, d]

(2.7.1.2)

angenommen wird. Tatsächlich, nach der Formel von Lagrange ist

\frac{f (x^{*} + h, y) - f (x^{*}, y)}{h} = \frac{\partial f (x^{*} + t_{y} h, y)}{\partial x}

für geeignetes $t_{y} \in [0, 1]$ und damit auch

|\frac{f (x^{*} + h, y) - f (y)}{h} - \frac{\partial f (x^{*}, y)}{\partial x}| = |\frac{\partial f (x^{*} + t_{y} h, y)}{\partial x} - \frac{\partial f (x^{*}, y)}{\partial x}| .

Als stetige Funktion auf der kompakten Menge $Ω = [a, b] \times [c, d]$ ist $\frac{\partial f}{\partial x}$ gleichmäßig stetig. Dann existiert für jedes $ε > 0$ ein $δ (ε) > 0$ , so daß

|\frac{\partial f (x^{*} + h, y)}{\partial x} - \frac{\partial f (x^{*}, y)}{\partial x}| < ε für  alle t \in [0, 1], | h | < δ, x^{*} + h \in [a, b] .

Dies impliziert (2.7.1.2).

Schritt 3: Wir können damit in (2.7.1.1) für $x = x^{*}$ zum Grenzwert $h \to 0$ übergehen und nach Satz 2.5.5 auf der rechten Seite der Gleichung das Integralzeichen mit dem Grenzwert vertauschen

\begin{array}{rcl} \frac{d J (x^{*})}{d x} = lim_{h \to 0} \frac{J (x^{*} + h) - J (x^{*})}{h} & = & lim_{h \to 0} \int_{c}^{d} \frac{f (x^{*} + h, y) - f (x^{*}, y)}{h} d y \\ = & \int_{c}^{d} lim_{h \to 0} \frac{f (x^{*} + h, y) - f (x^{*}, y)}{h} d y \\ = & \int_{c}^{d} \frac{\partial f (x^{*}, y)}{\partial x} d y . \end{array}

Man kann nun leicht durch komponentweise Anwendung die für reelle Funktionen bewiesene Aussage auf Funktionen mit Werten in $K^{d}$ ausdehnen. $◂$

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