Die Integration parameterabhangiger Integrale.

2.7.2. Die Integration parameterabhängiger Integrale.

SATZ 2.7.2. Es sei $f \in C ([a, b] \times [c, d], K^{d})$ . Dann gilt

\int_{c}^{d} (\int_{a}^{b} f (x, y) d x) d y = \int_{a}^{b} (\int_{c}^{d} f (x, y) d y) d x .

Wir geben eine Skizze des Beweises dieses Satzes. Für Notationen verweisen wir auf Kapitel 4.1 des Skriptes Analysis I. Wir empfehlen dem interessierten Leser, die Details des Beweises auszuarbeiten.

$▸$ Wir betrachten zunächst reellwertige Funktionen und setzen

I (y) = \int_{a}^{b} f (x, y) d x und J (x) = \int_{c}^{d} f (x, y) d y .

Nach Satz 2.5.8 sind $I : [c, d] \to K^{d}$ und $J : [a, b] \to K^{d}$ stetige Funktionen und damit integrierbar.

Es sei $δ$ eine Zerlegungen des Intervalls $[a, b]$ und $ξ$ ein entsprechender Satz von Stützstellen. Für jedes $y \in [c, d]$ gilt

\begin{array}{rcl} s (f (\cdot, y), δ) \leq & I (y) & \leq S (f (\cdot, y), δ), \\ s (f (\cdot, y), δ) \leq & Σ (f (\cdot, y); δ, ξ) & \leq S (f (\cdot, y), δ), \end{array}

wobei $s$ und $S$ für die untere und die obere Darboux-Summe und die Bezeichnung $Σ (f (\cdot, y); δ, ξ)$ für die entsprechende Riemann-Summe stehen. Ist

ω (f (\cdot, y), Δ_{k}) = sup_{x^{'}, x^{″} \in Δ_{k}} | f (x^{'}, y) - f (x^{″}, y) |

das Stetigkeitsmodul der Funktion $f (\cdot, y) : [a, b] \to K$ auf dem $k$ -ten Intervall $Δ_{k}$ der Länge $Δ_{k}$ einer Zerlegung $δ$ , so gilt

S (f (\cdot, y), δ) - s (f (\cdot, y), δ) = \sum_{k} ω (f (\cdot, y), Δ_{k}) Δ x_{k} .

Da $f$ gleichmäßig stetig auf der kompakten Menge $[a, b] \times [c, d]$ ist, so existiert für jedes $ε > 0$ ein $D (ε) > 0$ , so daß

ω (f (\cdot, y), Δ_{k}) < ε für Δ x_{k} < D (ε) .

Dies impliziert

|Σ (f (\cdot, y); δ, ξ) - I (y)| \leq \sum_{k} ω (f (\cdot, y), Δ_{k}) Δ x_{k} \leq ε (b - a) .

(2.7.2.1)

Es sei nun $δ^{(l)}$ eine Folge von Zerlegungen mit der Eigenschaft $λ (δ^{(l)}) \to 0$ für $l \to \infty$ und $ξ^{(l)}$ sei eine entsprechende Folge von Stützstellen. Aus (2.7.2.1) folgt, daß der Grenzwert

lim_{l \to \infty} Σ (f (\cdot, y); δ^{(l)}, ξ^{(l)}) = I (y) gleichmäßig  bezüglich y \in [c, d]

angenommen wird. Dann folgt nach Satz 2.5.1

\begin{array}{rcl} \int_{a}^{b} J (x) d x & = & lim_{l \to \infty} Σ (J (x); δ^{(l)}, ξ^{(l)}) \\ = & lim_{l \to \infty} \sum_{k} J (ξ_{k}^{(l)}) Δ x_{k} = lim_{l \to \infty} \int_{c}^{d} (\sum_{k} f (ξ_{k}^{(l)}, y) Δ x_{k}) d y \\ = & \int_{c}^{d} lim_{l \to \infty} Σ (f (\cdot, y); δ^{(l)}, ξ^{(l)}) d y = \int_{c}^{d} I (y) d y . \end{array}

Hierbei haben wir ausgenutzt, das bei fixiertem $l$ nur über endlich viele Stützstellen $ξ_{k}^{(l)}$ summiert wird und daß damit diese endliche Summe $\sum_{k}$ problemlos mit dem Integral $\int_{c}^{d} d y$ vertauscht werden kann.

Abschließend kann man das zunächst für reellwertige Funktionen bewiesene Resultat zunächst auf Funktionen mit Werten in $ℂ$ und dann auf Werte in $K^{d}$ ausgeweitet werden. $◂$

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