Parameterabhangige uneigentliche Integrale. Stetigkeit.

2.9.3. Parameterabhängige uneigentliche Integrale. Stetigkeit.

Es sei $(M, d)$ ein metrischer Raum und $X \subset M$ sowie $x^{*} \in acc (X) \cap X$ .

SATZ 2.9.4. Für $f : X \times [0, + \infty [\to ℝ$ sei für jedes fixierte $x \in X$ die Funktion $f (x, \cdot) : [0, + \infty [\to ℝ$ stetig in $y \geq 0$ . Wir nehmen an, daß das uneigentliche Integral

J (x) = \int_{0}^{\infty} f (x, y) d y gleichmäßig  bezüglich x \in X

konvergiert und für jedes fixierte $R \geq 0$ der Grenzwert

lim_{x \to x^{*}} f (x, y) = φ_{x^{*}} (y) gleichmäßig  bezüglich y \in [0, R]

(2.9.3.1)

angenommen wird. Dann existiert der Grenzwert

lim_{x \to x^{*}} J (x) = lim_{x \to x^{*}} \int_{0}^{\infty} f (x, y) d y = \int_{0}^{\infty} φ_{x^{*}} (y) d y .

$▸$ Man wähle eine Folge $x_{k} \in X$ , $x_{k} \neq x^{*}$ , $k \in ℕ$ mit der Eigenschaft $x_{k} \to x^{*}$ für $k \to \infty$ und setze $f_{k} (y) = f (x_{k}, y)$ , $y \in Y$ . Dann konvergiert

\begin{array}{rcl} J (x_{k}) = lim_{R \to \infty} \int_{0}^{R} f_{k} (y) d y & gleichmäßig  bezüglich & k \in ℕ, \\ lim_{k \to \infty} f_{k} (y) = φ_{x^{*}} (y) & gleichmäßig  bezüglich & y \in [0, R] . \end{array}

In der letzten Gleichung ist $R \geq 0$ beliebig aber fixiert. Aus Satz 2.9.1 folgt

lim_{k \to \infty} J (x_{k}) = \int_{0}^{\infty} lim_{k \to \infty} f (x_{k}, y) d y = \int_{0}^{\infty} φ_{x^{*}} (y) d y .

Dieser Ausdruck ist unabhängig von der Wahl der Folge $x_{k}$ und demnach gilt

lim_{x \to x^{*}} J (x) = \int_{0}^{\infty} φ_{x^{*}} (y) d y .

$◂$

SATZ 2.9.5. Es sei $X \subset M$ eine kompakte Menge und $f \in C (X \times [0, + \infty [, ℝ)$ . Wir nehmen an, daß das uneigentliche Integral

J (x) = \int_{0}^{\infty} f (x, y) d y gleichmäßig  bezüglich x \in X

konvergiert Dann ist $J (x)$ stetig in allen Punkten $x \in X$ .

$▸$ Es sei $x^{*} \in acc (X) \cap X$ . Die Funktion $f$ ist gleichmäßig stetig auf der kompakten Menge $X \times [0, R]$ und damit ist (2.9.3.1) mit $φ_{x^{*}} (y) = f (x^{*}, y)$ erfüllt. Aus Satz 2.9.4 folgt

lim_{x \to x^{*}} J (x) = \int_{0}^{\infty} φ_{x^{*}} (y) d y = \int_{0}^{\infty} f (x^{*}, y) d y = J (x^{*}) .

$◂$

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