Zur Konvergenz von Folgen uneigentlicher Intergrale.

2.9.1. Zur Konvergenz von Folgen uneigentlicher Intergrale.

SATZ 2.9.1. Wir betrachten eine Folge von Funktionen $f_{n} \in C ([0, + \infty [, ℝ)$ , $n \in ℕ$ , so daß das uneigentliche Integral

\int_{0}^{\infty} f_{n} (x) d x = lim_{R \to \infty} \int_{0}^{R} f_{n} (x) d x gleichmäßig  bezüglich n \in ℕ

(2.9.1.1)

konvergiert und außerdem für jedes fixierte $R \in ℝ$ der Grenzwert

f (x) = lim_{n \to \infty} f_{n} (x) gleichmäßig  bezüglich x \in [0, R]

angenommen wird. Dann konvergiert das uneigentliche Integral $\int_{0}^{\infty} f (x) d x$ sowie der Grenzwert $lim_{n \to \infty} \int_{0}^{\infty} f_{n} (x) d x$ und es gilt

lim_{n \to \infty} \int_{0}^{\infty} f_{n} (x) d x = \int_{0}^{\infty} f (x) d x = lim_{R \to \infty} \int_{0}^{R} f (x) d x .

$▸$ Aufgrund der Stetigkeit von $f_{n}$ existiert für jedes $R \geq 0$ das Integral

F_{n} (R) : = \int_{0}^{R} f_{n} (x) d x .

Desweiteren ist $f$ als gleichmäßiger Grenzwert (auf jedem beliebigen endlichen Intervall) stetiger Funktionen selbst stetig. Damit existiert für jedes $R \geq 0$ auch die Größe

F (R) = \int_{0}^{R} f (x) d x = \int_{0}^{R} lim_{n \to \infty} f_{n} (x) d x .

Wiederum aufgrund der gleichmäßigen Konvergenz von $f_{n} (x)$ gegen $f (x)$ bezüglich $x \in [0, R]$ folgt nach Satz 2.5.1

F (R) = lim_{n \to \infty} \int_{0}^{R} f_{n} (x) d x = lim_{n \to \infty} F_{n} (R), R \geq 0 .

Wir wählen nun eine Folge $R_{k} \geq 0$ mit $R_{k} \to \infty$ für $k \to \infty$ . Wegen (2.9.2.1) konvergiert

lim_{k \to \infty} F_{n} (R_{k}) \to \int_{0}^{\infty} f_{n} (x) d x, gleichmäßig  bezüglich n \in ℕ .

Dann folgt nach Satz 2.2.2

\begin{array}{rcl} lim_{n \to \infty} \int_{0}^{\infty} f_{n} (x) d x & = & lim_{n \to \infty} (lim_{k \to \infty} F_{n} (R_{k})) \\ = & lim_{k \to \infty} (lim_{n \to \infty} F_{n} (R_{k})) = lim_{k \to \infty} F (R_{k}) . \end{array}

Da die linke Seite in dieser Identität nicht von der konkreten Wahl der Folge ${R_{k}}_{k \in ℕ}$ abhängt, so gilt auch

lim_{n \to \infty} \int_{0}^{\infty} f_{n} (x) d x = lim_{R \to \infty} F (R) = \int_{0}^{\infty} f (x) d x .

$◂$

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